Existe um algoritmo eficiente para esse problema de cobertura do ciclo de vértices?

Eu tenho tentado encontrar um algoritmo para encontrar uma cobertura máxima de ciclo de vértice de um gráfico direcionado - ou seja, um conjunto de ciclos disjuntos que contêm todos os vértices em , com o maior número possível de ciclos (não consideramos vértices individuais circulam aqui). Eu sei que o problema de encontrar uma cobertura mínima de ciclo de vértice, bem como encontrar uma cobertura de ciclo de vértice com exatamente ciclos é NP-completo. Mas e o caso máximo? $G$ $G$ $k$

Embora eu ache uma resposta interessante em geral, os gráficos para os quais eu quero usá-lo são realmente bastante limitados por sua construção; talvez, mesmo que o problema seja NP-complete, possa haver uma solução polinomial para essas instâncias específicas.

Temos uma lista de números inteiros , elementos e vamos usar , elementos para se referir a após a triagem. Como um exemplo: $L$ $l_i$ $S$ $s_i$ $L$

L = (1, 3, 2, 5, 0, 7, 4, 2, 6, 0, 8, 1) S = (0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)

$L = (1, 3, 2, 5, 0, 7, 4, 2, 6, 0, 8, 1)\\ S = (0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)$

Os vértices do gráfico serão identificados com pares modo que e . O gráfico possui uma aresta direcionada se e somente se . (Um ciclo neste gráfico corresponde a um conjunto de valores que podem ser permutados ciclicamente, de forma que eles acabem na posição classificada.) $(n, i)$ $l_i = n$ $s_i \neq n$ $(n, i) \rightarrow (m, j)$ $s_j = n$

O exemplo acima produziria o seguinte gráfico (usando índices baseados em 1):

Uma coisa que não funciona é a abordagem gananciosa de remover repetidamente o menor ciclo (como mostra este exemplo).

Observe que esse problema é (se eu não cometi nenhum erro) equivalente a perguntar quantos swaps você precisa para classificar uma determinada lista. (Foi isso que inspirou a análise desse problema em primeiro lugar.)

$|C|-1$ $|C|$ $-1$ .) Ou seja, o peso depende do tamanho do ciclo, não das arestas específicas que ele inclui. Mas talvez isso dê a alguém outra idéia de como reduzir o problema.

Parece também que limitar o tamanho dos ciclos torna o problema difícil para APX em gráficos gerais. Isso não implica necessariamente que o mesmo seja verdade para a tarefa de maximizar o número de ciclos, nem para os gráficos específicos em consideração aqui, mas parece estar suficientemente relacionado que pode ser importante.

Em resumo: Pode-se encontrar uma cobertura máxima do ciclo separado de vértices para os gráficos construídos a partir do processo acima?

Além disso, eu também estaria interessado em saber se a cobertura máxima do ciclo separado de vértices também possui uma solução eficiente para gráficos arbitrários que admitem pelo menos uma cobertura de ciclo (que provavelmente cairá como resposta à pergunta principal) ou se apenas determinar o número de ciclos na cobertura máxima (em oposição às arestas reais contidas em cada uma) torna o problema mais simples. Fico feliz em publicá-las como perguntas separadas, se as pessoas acharem que merecem respostas completas por conta própria.

graph-theory algorithms

— Martin Ender
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Você já consultou a literatura sobre CS sobre trocas renais? O problema parece relacionado, então eu me pergunto se algum dos métodos pode ser aplicado a este. Porém, isso pode ser um beco sem saída ...

— DW

@ DW eu não tenho (eu não estava ciente de que é uma coisa). Vou ver o que posso encontrar, obrigado.

— Martin Ender

o problema é de fato semelhante às trocas renais estudadas de um ponto de vista teórico, por exemplo, este artigo de Roughgarden explica que pequenos ciclos são preferidos por razões quase óbvias (p3); os tamanhos ciclo implica "operações simultâneas" e menores diminuir o risco de retirar todas as operações com complicações ou doadores mudando mentes etc

— vzn

@AustinMohr Acredito que os gráficos obtidos a partir da construção que descrevo sempre serão decompostos em ciclos (e, além disso, não importa qual ciclo você remover, o restante ainda será decomposto em ciclos). Se você também deseja abordar gráficos gerais, suponha que exista pelo menos uma cobertura completa.

— Martin Ender

@ MartinBüttner No seu caso específico, se todos os elementos da lista forem distintos, seu problema seria equivalente a encontrar a decomposição (exclusiva) do ciclo da permutação ?

— Mhum

$G$ $k$ $k=2$ $k=3$ $k$ $k$

$G$ $G$ $((3/5)-\epsilon)$ $\epsilon > 0$

Para detalhes e provas das reivindicações acima, consulte [1].

[1] Bläser, Markus e Bodo Manthey. "Dois algoritmos de aproximação para coberturas de 3 ciclos." Algoritmos de aproximação para otimização combinatória. Springer Berlin Heidelberg, 2002. 40-50.

— Juho
fonte

Interessante, tentarei seguir as referências desse artigo. Obrigado. (I deve ter interpretado mal alguma coisa quando eu pensei que as tampas de ciclo k foram cobertas com exatamente k ciclos ou talvez seja uma definição diferente usado em outro lugar..)

— Martin Ender

@ MartinBüttner A propósito, você provavelmente vai querer dar uma olhada na tese de doutorado da Bläser aqui . (Está em alemão, mas você provavelmente não terá problemas com isso :-)). Ele deve cobrir os detalhes de como calcular uma cobertura de peso máximo de 2 ciclos.

— Juho

| V | - n

$|V|-n$

n

$n$

Pensando um pouco mais, não tenho certeza se é realmente possível formular o problema em termos de pesos. Com pesos iguais, todas as coberturas de ciclo têm o mesmo peso. Meu "custo" para um ciclo é, na verdade, seu comprimento menos 1. É por isso que quero o maior número possível de ciclos. Se isso puder ser formulado em termos de pesos, reduz-se ao problema de atribuição, mas se não, acho que preciso continuar pesquisando.

— Martin Ender