Limites inferiores para o tamanho do conjunto independente em um gráfico?

Eu aprendi recentemente que, para qualquer instância de um problema do k-SAT com $m$ cláusulas e $n$literais, temos uma atribuição de literais de modo que pelo menos cláusulas sejam atendidas.$m(1 - 2^{-k})$

Eu queria saber se podemos mostrar um limite inferior (não trivial) do tipo que qualquer gráfico tem um conjunto independente de tamanho onde é alguma função no número de vértices e arestas ou similares ?$G = (V,E)$$S$$S$

Como na versão de otimização tentamos encontrar um subconjunto independente máximo, quanto mais apertado o limite inferior, melhor. Por isso, fiquei me perguntando se existe um limite tão baixo, quão apertado podemos fazê-lo?

O resultado relevante é conhecido como teorema de Turán . Ele afirma que se um gráfico tiver menos que (aproximadamente)$n(n-1)/(2r)$ arestas, então ele tem um conjunto independente de tamanho $r+1$, e isso é apertado.

Há também um tipo de resultado algorítmico. Dado um$n$-vertex planar graph $G=(V,E),$ pode-se calcular em tempo linear um conjunto independente de vértices de grau menor que $12$ cujo tamanho é pelo menos $\left\lceil\frac{n}{24}\right\rceil.$Veja, por exemplo , Das, Goodrich, Sobre a complexidade dos problemas de otimização para poliedros convexos tridimensionais e árvores de decisão