algoritmo para problema de visibilidade de segmento separado

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Considere que temos $n$ segmentos separados e um ponto $P$ que não está em nenhum segmento. Eu quero encontrar um $O(n \log n)$ algoritmo para verificar quais segmentos são visíveis a partir $P$ . Um segmento é visível a partir de $P$ se tiver um ponto visível de $P$ .

Minha idéia é usar uma linha de varredura com um ponto final em $P$ , classifique os pontos no sentido horário por grau e comece a partir de um ponto final no segmento visível mais próximo (que eu não sei encontrar), gire e detecte um segmento visível e alguns segmentos invisíveis possíveis por vez. Tudo o que consigo pensar é $O(n^2)$ tão longe. Alguém pode sugerir uma $O(n \log n)$ algoritmo.

algorithms computational-geometry

— VahidM
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Wolg poderíamos assumir $P$ é o ponto de origem $(0,0)$ .

Liste os pontos finais de todos os segmentos, represente-os na coordenada polar $(\theta,\rho) \in [0,2\pi) \times [0,\infty)$ e classificá-los por grau.
Imagine que há um raio de $P$ apontando para a direita, nós o varremos por uma rodada (mudando gradualmente sua direção $\alpha$ de 0 a $2\pi$ ) Deixei $R(\alpha)$ denota o raio de $P$ para direção $\alpha$ . Nos perguntamos quais são os segmentos $R(\alpha)$ hits e qual é a ordem deles em $R(\alpha)$ .
Descubra todos os segmentos atingidos $R(0)$ e classifique-os por ordem em $R(0)$ . Armazene-os em uma árvore de pesquisa binária equilibrada (por exemplo, árvore vermelho-preta).
Faça uma iteração sobre os pontos encontrados (e classificados) na etapa 1: cada ponto $(\theta,\rho)$ indica que um segmento iniciaria / pararia de atingir o raio $R(\alpha)$ quando $\alpha$ aumentar para $\theta$ . Atualize a árvore de pesquisa binária de acordo.
Os elementos que antes eram os menores na árvore de pesquisa binária são os segmentos visíveis de $P$ .

É fácil verificar se o tempo de execução do algoritmo acima é $O(n \log n)$ .

— Tianren Liu
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Obrigado pela solução. Eu tenho uma dúvida sobre o 3º e 4º passo. Como gerenciamos a iteração sobre todos os pontos e verificamos a interseção com

R (α)

$R(\alpha)$ 'pecado

O (n \log n)

$O(n \log n)$ ?

— VahidM 13/03/16

Na terceira etapa, você pode enumerar os segmentos para verificar se eles atingem

R (0)

$R(0)$ , (isso leva

O (n)

$O(n)$ Tempo); ordená-los por seus pontos de interseção em

R (0)

$R(0)$ , (isso leva

O (n \log n)

$O(n \log n)$ Tempo).

— Tianren Liu

@VahidM Para o quarto passo. Não repetimos todos os pontos para descobrir quem cruza com

R (α)

$R(\alpha)$ . Por exemplo, suponha

(θ, ρ)

$(\theta,\rho)$ é um ponto final de um segmento. Informalmente, deixamos

θ_{+}

$\theta_+$ (

θ_{-}

$\theta_-$ ) denota um grau um pouco maior (menor) que

θ

$\theta$ . Então conhecemos os segmentos

R (θ_{+})

$R(\theta_+)$ cruza com são quase os mesmos que os segmentos

R (θ_{-})

$R(\theta_-)$ cruza com. Eles diferem apenas o segmento relacionado a

(θ, ρ)

$(\theta,\rho)$ . Então, sabemos o conjunto de segmentos atingidos

R (θ_{-})

$R(\theta_-)$ , podemos modificá-lo em

O (\log n)

$O(\log n)$ tempo para que se torne o conjunto de segmentos atingidos

R (θ_{+})

$R(\theta_+)$ .

— Tianren Liu

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Podemos fazer uma varredura radial de linha para resolver o problema -

Classifique os pontos finais dos segmentos de linha com o ângulo da união da linha $P$ e o ponto final $Q$ fazer, quebrar laços wrt distância de $P$ . Agora, quando varremos radialmente (no sentido horário), mantemos dois tipos de eventos 'abertos' e 'fechados', que correspondem à abertura e fechamento de algum novo segmento de linha. Acompanhe quantos segmentos de linha estão 'ativos' a qualquer momento ('ativo' significa que encontramos o ponto final que corresponde ao evento 'aberto' do segmento de linha, mas não encontramos o outro ponto final no varrer ainda). Se em algum momento tivermos exatamente um segmento de linha 'ativo', esse segmento será visível em $P$ .

Devemos tomar cuidado para que, ao iniciar a varredura, sempre comecemos em algum evento 'aberto'.

Haverá $2n$ esses eventos e acompanhar o número de segmentos ativos podem ser realizados em tempo constante por segmento (por meio de uma tabela de hash ou tempo de logaritmo, usando uma BST balanceada). Portanto, o passo dominante no algoritmo é a classificação que leva $\mathcal{O}(n)$ tempo conforme necessário.

Como em todos os problemas de geometria computacional, pode haver alguns casos de esquecimento que eu negligenciei, mas a ideia geral de que, em algum ponto do tempo durante a varredura radial da linha, se tivermos exatamente um segmento de linha ativo, será visível a partir de $P$ é o ponto crucial para resolver esse problema.

— Banach Tarski
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