Lixeiras de enchimento com pares de bolas

Uma lixeira é chamada cheia se contiver pelo menos bolas. Nosso objetivo é fazer com que o maior número possível de caixas cheias. $k$

No cenário mais simples, recebemos bolas e podemos organizá-las arbitrariamente. Nesse caso, obviamente, o melhor que podemos fazer é escolher arbitrariamente piso arbitrariamente e colocar bolas em cada uma delas. $n$ $\lfloor n/k \rfloor$ $k$

Estou interessado no seguinte cenário: recebemos pares de bolas. Temos que colocar as duas bolas de cada par em duas caixas diferentes. Então, um adversário chega e remove uma bola de cada par. O que podemos fazer para obter o número máximo possível de posições completas após a remoção? $n$

Uma estratégia simples é: escolher de caixas. Preencha cada par de com pares bolas (cada caixa contém bolas , uma bola de cada par). Então, independentemente do que o nosso adversário remove, temos em cada par de caixas pelo menos uma caixa cheia. $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ $2k-1$ $2k-1$

Temos uma estratégia que atinja um número maior de posições completas (mais de )? $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$

combinatorics balls-and-bins

— Erel Segal-Halevi
fonte

Eu não acredito que sim

— Zach Saucier

n

$n$ é dado e é dado? depende de ?

k

$k$

k

$k$

n

$n$

— Mal

@EvilJS e são dadas, e são independentes.

n

$n$

k

$k$

— Erel Segal-Halevi

O jogador coloca todos os seus

n

$n$ pares de bolas e, em seguida, o adversário escolhe bolas? Ou o jogador coloca um par de bolas e, em seguida, o adversário escolhe um desse par e, em seguida, o jogador coloca o próximo par e o adversário escolhe uma e assim por diante até que não haja mais pares de bolas para colocar?

n

$n$

— Rotia # 10/16

@rotia O jogador coloca todos os seus n pares de bolas e o adversário escolhe n bolas.

— Erel Segal-Halevi

TL; DR - Não, não há melhor estratégia do que a simples. Aqui está a idéia principal da prova. Quando não houver bolas suficientes, haverá um "caminho da bola" de um $k$ caixa cheia de a uma caixa com no máximo $k-2$ bolas. O adversário pode passar uma bola daquele compartimento cheio para o compartimento menos cheio ao longo desse caminho, o que pode ser feito repetidamente até que o número de compartimentos cheios de $k$ seja reduzido.

Reformulação na teoria dos grafos

Suponha que recebamos um gráfico finito simples com uma função . Dizemos que existem bolas na aresta . Vamos ser o (borda-marcado final) conjunto . Se $G(V,E)$ $w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)$ $e$ $E_2$ $\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$ satisfizer $d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ , para cada aresta , dizemos que estádistribuindo . Qualquerfunção de distribuição induz uma função, que usamos o mesmo símbolo, . Dizemos que bolas estão em $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$ $e=\{v_1,v_2\}$ $d$ $w$ $w$ $d$ $d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$ $d(v)$ . Dado , seja , o número de vértices completos por . $v$ $k\in\Bbb Z_{\gt0}$ $F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$ $k$ $d$

(Erel-Apass Teorema) Para qualquer gráfico finito simples e , temos $G(V,E)$ $w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$ $\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

Imagine que cada vértice é uma caixa. Para cada aresta , pares de bolas são colocados em e , cada um dos quais recebendo bolas. Entre esses pares de bolas, o adversário pode tirar bolas de bolas de $e=\{v_1,v_2\}$ $w(e)$ $v_1$ $v_2$ $w(e)$ $w(e)$ $d(e,v_2)$ e $v_1$ $d(e,v_1)$ $v_2$ . O resultado final é o mesmo que se, dado todas as posições vazias inicialmente, para cada aresta , as esferas são colocadas dentro dele e, em seguida, e bolas são distribuídas para $e=\{v_1, v_2\}$ $w(e)$ $d(e,v_1)$ $d(e,v_2)$ e respectivamente pelo adversário. Portanto, oteorema de Erel-Apass diz que, para garantir $v_1$ $v_2$ lixeiras k-cheias, após remoção de um adversário inteligente, pelo menos são necessários pares de bolas. $t$ $(2k-1)t$ Em outra palavra, uma estratégia ideal para ter o número máximo possível de posições completas restante é de fato a "estratégia simples", que preenche repetidamente um par diferente de posições compares de esferas de até que não tenhamos bolas suficientes para repetir . $2k-1$

Prova do teorema

Por uma questão de contradição, vamos e ser um contra-cujo número de vértices é o menor entre todos os contra-exemplos. Ou seja, não é -distributing de modo a que é mínima entre todos de -distributing função . Além disso, $G(V,E)$ $w$ $w$ $m$ $F_k(m)$ $F_k(d)$ $w$ $d$

\sum_{e \in E} w (e) < (2 k - 1) F_{k} (m)

$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$

Seja . Seja . Então $V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$ $V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$ . $F_k(m)=\#V_\ell$

Reivindicação um: . $V_s\neq\emptyset$
Prova de reivindicação um. Suponha de outra forma que esteja vazio. $V_s$

\sum_{v \in V} m (v) = (k - 1) # V + \sum_{v \in V} (m (v) - (k - 1)) \geq (k - 1) # V + # V_{ℓ} > (k - 1) # V

$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$ Vamos também reutilização

como uma função de

para

tal que

para qualquer

w

$w$

V

$V$

Z_{\geq 0}

$\Bbb Z_{\ge 0}$

w (v) = \sum_{v \in e} w (e)

$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$

v \in V

$v\in V$

Portanto, deve haver um vértice

tal que

\begin{aligned} \sum_{v \in V} w (v) & = \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} 2 w (e) = 2 \sum_{e \in E} w (e) \\ = 2 \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} m (v) \\ > 2 (k - 1) # V \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$

b

$b$

w (b) \geq 2 k - 1

$w(b)\ge 2k-1$

Considere a configuração induzida e , onde , é o gráfico induzido e onde . Para qualquer função de distribuição de $G'(V', E')$ $w'$ $V'=V\setminus\{b\}$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ , podemos estendê-lo a uma função de distribuição $w$ Onde é o mesmo queemenquantopara cada arestaadjacente a. Observe que $d_{d'}$ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $d_{d'}(e, b)=w(e)$ $e$ $b$ desde $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ . Então $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$ Assim,eé um contra-exemplo, cujo número de vértices é menor do que o número de vértices em. Isso não pode verdadeiro pela nossa suposição sobree. Então, reivindique um está provado.

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) - w (b) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) - (2 k - 1) \\ = (2 k - 1) (min_{w -distributing d} F_{k} (d) - 1) \\ \leq (2 k - 1) (min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) - 1) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

Para qualquer vértice , defina alcançável a partir do vértice se houver um caminho , , para que . Seja $v$ $v$ $d$ $u$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$

Claim two: $V_r = V$
Proof of claim two: Suppose $V_r\neq V$ . For any vertex $v\in V_r$ and $u\notin V_r$ , since we cannot reach $u$ from $v$ , if $\{v, u\}$ is an edge, then $w(\{v, u\}, v) = 0.$ Consider the induced setup $G'(V', E')$ and $w'$ , where $v'=V_r$ , $G'(V', E')$ is the induced graph $G[V']$ and where $w'=w|_{E'}$ . For any $w'$ -distributing function $d'$ , we can extend it to a $w$ -distributing function $d_{d'}$ where $d_{d'}$ is the same as $d'$ on $E'$ and the same as $m$ on other edges. Note that $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ since all vertices with no less than $k$ balls inside are in $V_\ell\subset V_r$ . Then

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) \\ = (2 k - 1) min_{w -distributing d} F_{k} (d) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$ So,

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$ and

w^{'}

$w'$ would be a counterexample whose number of vertices is smaller than the number of vertices in

G

$G$ . That cannot be true by our assumption about

G (V, E)

$G(V,E)$ and

w

$w$ . So claim two is proved.

Now let us prove the theorem.

Since $V_r=V$ and $V_s\neq\emptyset$ , there is a path $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ , $m\ge0$ with $m(u)\gt k$ , $m(v)\leq k-2$ and $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ . Let us construct a new $w$ -distributing function $r(m)$ from $m$ so that

r (m) (e, u) = {\begin{cases} m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) - 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) for some 0 \leq i \leq m \\ m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) + 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) for some 0 \leq i \leq m \\ m (e, u) & otherwise \end{cases}

$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$

$m$ and $r(m)$ agrees on all vertices except $v$ and $u$ , $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ and $r(m)(u)\lt m(u)$ . We can apply this procedure on $r(m)$ to get $r^2(m)$ . Repeating this $i$ time for some large enough $i$ , we will obtain a $w$ -distributing function $r^i(m)$ with $F_k(r^i(m))=0$ . However, we have assumed that $F_k(m)>0$ is the minimum among $F(d)$ of $w$ -distributing function $d$ . This contradiction shows that we have proved the Erel-Apass theorem.

— John L.
fonte

Eu li a prova, parece bom. De fato, se eu entendi direito, é ainda mais geral, pois permite um gráfico arbitrário - minha pergunta é um caso especial em que G é o gráfico completo. Isso está correto? Outra pergunta: onde exatamente a prova usa o fato de que m é tal que Fk (m) é mínimo? Vejo que ele é usado apenas no último parágrafo - as alegações anteriores da prova são verdadeiras sem esse fato?

— Erel Segal-Halevi

Yes, the theorem is correct for any graph since it says "for any (simple finite) graph G(V,E)". The minimality of

F_{k} (m)

$F_k(m)$ is necessary for each claim. If you search for "counterexample", you will find where the minimality is used.

— John L.