Podemos regular regularmente um idioma não regular por concatentação?

8

Minha pergunta é basicamente dada a três idiomas A, B e L, onde L é A e B concatenados juntos e B é comprovadamente não regular, é possível encontrar um A que faça L regular?

formal-languages regular-languages

— Kenny Loveall
fonte

5

Bem-vindo ao CS.SE! Nossa missão é parcialmente criar um arquivo de perguntas de alta qualidade e suas respostas. Portanto, preferimos que você evite alterar a pergunta de uma maneira que invalide as respostas existentes ou que mude fundamentalmente o que você está perguntando; e preferimos que você faça uma pergunta por pergunta. Sua pergunta inicial foi geral e razoável. Sua edição faz algumas perguntas diferentes. Se você tiver uma pergunta de acompanhamento, preferimos publicá-la separadamente como uma nova pergunta - não edite a pergunta original.

— DW

1

Vou remover as perguntas subsequentes desta postagem, mas você pode encontrá-las com histórico de revisões, se desejar publicá-las separadamente.

— DW

O que você tentou? Onde você ficou preso? Não queremos apenas fazer o seu trabalho (em casa) para você; queremos que você obtenha entendimento. No entanto, como não sabemos qual é o seu problema subjacente, não podemos começar a ajudar. Veja aqui uma discussão relevante. Se você não souber como melhorar sua pergunta, por que não perguntar no Computer Science Chat ? Você também pode conferir nossas perguntas de referência .

— Raphael

(Isso provavelmente foi perguntado antes, também.)

— Raphael

@ Rafael Eu editei a pergunta para conter a pergunta específica sobre a qual eu estava me perguntando e minha lógica, no entanto, ela foi removida pela DW acima. Além disso, isso não é para minha lição de casa, é porque meu professor não me deu crédito por uma prova que fiz dessa maneira e quero garantir que meu entendimento esteja correto antes de falar com ele sobre isso (ele é bastante irracional para conversar com ele). , para não mencionar difícil de entender).

— Kenny Loveall

3

Se permitirmos que seja o idioma vazio, que é regular, teremos que . $A$ $L = \{w_1w_2 | w_1 \in A, w_2 \in B\} = \emptyset = A$

Para o problema um pouco mais interessante, em que A deve ser uma linguagem regular não vazio, então podemos construir um tal que há não vazios resulta em um regular $B$ $A$ $L$

Seja . Seja qualquer idioma comum e considere . Observe que, ao contrário do pressuposto em J.-E. A resposta de Pin, é irregular, mas não contém a palavra vazia. $B=\{bc^nd^n | n > 0\}$ $A$ $L=\{w_1w_2 | w_1 \in A, w_2 \in B\}$ $B$

Suponha que seja regular. Existe alguma DFA, , que aceita . Independentemente de como é construído, sabemos que cada palavra em deve ter uma última ocorrência de . Seja o conjunto de estados percorridos imediatamente após o último em todas as travessias possíveis de aceitação. Observe que não pode estar vazio, pois a string mais curta em é . Seja o conjunto de estados visitados em todas as travessias de aceitação possíveis em algum momento após o último . Construir $L$ $M=(S,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $L$ $A$ $L$ $b$ $Q$ $b$ $Q$ $B$ $bcd$ $S'$ $b$ $M'=(S',\Sigma,\delta',q_0',F)$ , onde funciona igualmente a , com excepção para o facto de . $\delta'$ $\delta$ $\delta'(q_0, \varepsilon)=Q$

Eu afirmo que este NFA aceita o idioma . Para qualquer , devemos ter a passagem de algum elemento de para algum elemento de , já que deve aceitar alguma string com isso como sufixo. Para qualquer , podemos escolher um e formar a palavra . Se aceita , então deve ser o caso em que aceita , pois deve ter havido alguma passagem de algum estado em a que também é válido para $C=\{c^nd^n| n > 0\}$ $w' \in C$ $Q$ $F$ $M$ $w' \in \Sigma^{*} \setminus C$ $w \in A$ $wbw'$ $M'$ $w'$ $M$ $wbw'$ $Q$ $F$ $M$ . No entanto, devido à nossa escolha de , não pode ser o caso que , então deve rejeitar . $w'$ $wbw' \in L$ $M'$ $w'$

Então aceita , mas essa linguagem não é regular, levando a uma contradição. $M'$ $C$

Portanto, se não estiver vazio, não poderá ser regular. $A$ $L$

— ymbirtt
fonte

12

Sim, isso é possível. Considere o exemplo abaixo:

Seja onde é primo. Isso não é regular. Seja onde . Isso é regular. $B = 1^p$ $p$ $A = 1^n$ $n \in \mathbb{N}$

$AB$ simplesmente nos dará com e isso é regular, pois qualquer número maior que pode ser representado como que $1^n$ $n > 2$ $2$ $2+x$ $x > 0$

— Banach Tarski
fonte

Que tal agora? e considere . É trivial ver que é isomórfico para onde é um número par maior que 2, o que é obviamente regular.

B = 1^{p}

$B = 1^p$

B B

$BB$

B B

$BB$

1^{n}

$1^n$

n

$n$

12

Seja um alfabeto não vazio. Deixe ser qualquer linguagem não regular em contendo a palavra vazia e deixá- . Então é regular. $\Sigma$ $B$ $\Sigma$ $A = \Sigma^*$ $L = AB = A$

— J.-E. PIN
fonte

4

Para torná-lo talvez pior: vamos ser qualquer linguagem não regular e deixá- . Então é regular.

B

$B$

A = \emptyset

$A = \varnothing$

L = A B = A

$L = AB = A$

— Hendrik Jan

Este argumento só funciona se contiver a palavra vazia. Existem idiomas irregulares que não contêm a palavra vazia.

B

$B$

— ymbirtt

@ hendrik-jan Você está perfeitamente certo, e esta é a melhor solução!

— J.-E.

6

Dado um idioma , o idioma é regular. Além dessa solução trivial, nem sempre é possível encontrar uma linguagem não vazia modo que seja regular. É possível que muitos não regular (por exemplo , se contém a palavra vazia , ou se está em um alfabeto unário ), mas não para todos . $B$ $\varnothing B = \varnothing$ $A$ $AB = \{uv \mid u \in A \wedge v \in B\}$ $B$ $B$ $B$ $B$

Tome onde é o conjunto de números primos. Seja o que for, se não estiver vazio, não será regular, porque para testar a associação a , é necessário (devido ao símbolo de "rolha" ) usar memória potencialmente ilimitada para testar a primalidade do número de ' s no final. $B = \{ca^n \mid n\in\mathbb{P}\}$ $\mathbb{P}$ $A$ $A$ $AB$ $AB$ $c$ $a$

Para provar isso, (pois assumimos que não está vazio). Se for regular, e o quociente esquerdo de pelo singleton que é . Esse idioma é apenas (se , existe e tal forma que , e como contém b ^ kno , isso implica que $u \in A$ $A$ $AB$ $L_1 = AB \cap uca^*$ $L_1$ $\{uc\}$ $L_2 = \{w \mid ucw \in AB \wedge ucw \in uca^*\} = \{w \in a^* \mid ucw \in AB\}$ $L_3 = \{a^n \mid n\in\mathbb{P}\}$ $w \in L_2$ $v\in A$ $k\in\mathbb{N}$ $ucw = vca^k$ $w$ $c$ $w = a^k \in L_3$ ; por outro lado, se então então ). é uma linguagem não regular bem conhecida, temos uma contradição. $w \in L_3$ $cw \in B$ $ucw \in AB$ $L_3$

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
fonte

Esta prova não funciona com nenhum não regular , desde que o símbolo "rolha" apareça apenas como tal?

B

$B$

— Raphael

@ Rafael Sim, isso é uma condição suficiente.

— Gilles 'SO- stop be evil'

0

Enquanto sua pergunta está pedindo uma prova existencial, ela me lembra o ramo da comp. sci. chamado Aproximações regulares.

A ideia é usar uma linguagem não regular $L$ e depois encontre um idioma comum $A$ de tal modo que $L \ominus A \rightarrow 0$ sob alguma condição / subconjunto de $L$ (Onde $\ominus$ é a diferença simétrica ), ou seja, encontre uma linguagem regular "arbitrariamente próxima" de $L$ para algum subconjunto com o qual você se preocupa. Frequentemente, você realiza isso tomando um subconjunto finito de com grande medida sobre o seu subconjunto de interesse e, em seguida, concatenando-o com um idioma regular cuidadosamente escolhido. $L$

Você pode encontrar muitas leituras interessantes no Google Scholar se pesquisar algo como "aproximação de linguagem normal sem contexto".

— Mike Ounsworth
fonte