Qual é a complexidade de uma pesquisa entre parênteses usando intermediários?

Estou tentando estimar a complexidade de um algoritmo que escrevi para o descompilador Reko , onde estou tentando "desfazer" a transformação de um compilador em uma divisão inteira por uma constante . O compilador converteu a divisão em uma multiplicação de números inteiros e uma mudança: , em que$x / n$$(x * \lfloor 2^\beta / n \rfloor) >> \beta$$\beta$ é o número de bits da palavra-máquina do computador. A multiplicação constante resultante é muito mais rápida que uma divisão na maioria das arquiteturas contemporâneas, mas não se parece mais com o código original.

Para ilustrar: a instrução C

y = x / 10;

será compilado pelo compilador Microsoft Visual C ++ para a seguinte linguagem assembly

mov edx,1999999Ah  ; load 1/10 * 2^32 
imul eax           ; edx:eax = dividend / 10 * 2 ^32 
mov eax,edx        ; eax = dividend / 10

O resultado líquido é que o registro eaxagora terá o valor esperado a ypartir do código-fonte.

Um descompilador ingênuo descompilará o acima

eax = ((long)eax * 0x1999999A) >> 32;

mas Reko pretende tornar a saída resultante mais legível do que a recuperando a constante usada na divisão original.

O algoritmo sugerido acima é baseado na descrição deste artigo na Wikipedia . Primeiro, o algoritmo trata o multiplicador constante como o valor recíproco em escala$2^\beta / n$. Ele converte isso em um número de ponto flutuante$2^\beta r_f$ e depois reduz a escala $2^\beta$ para $r_f$, Onde $0.0 < r_f <1.0$. A etapa final e cara é colocar o valor do ponto flutuante entre parênteses$r_f$ entre dois números racionais $a/b$, $c/d$(começando com 0/1 e 1/1) e calcule repetidamente o mediant $(a + c)/(b + d)$até que algum critério de convergência seja alcançado. O resultado deve ser a "melhor" aproximação racional$r$ ao recíproco $r_f$.

Agora, se o bracketing estivesse sendo feito com uma pesquisa binária típica iniciando entre os racionais $0/2^\beta$ e $2^\beta/2^\beta$e computando o ponto médio $(a/b + c/d)/2$, Espero que o algoritmo converja $O(\beta)$passos. Mas qual é a complexidade do algoritmo se a mediante for usada?

A relação entre a árvore de Stern – Brocot e as seqüências de Farey mostra que, se $0 < p/q < 1$ e $(p,q) = 1$ (ou seja, $p/q$ é uma fração reduzida) então $p/q$ é no $q$th nível da árvore. Como o prazo de execução do seu algoritmo é linear no nível em que você termina, seu algoritmo leva tempo$O(q)$, Onde $p/q$é a resposta; mas isso não é tão útil.

Você não especificou qual é o seu critério de parada, mas presumivelmente você tem algum limite de erro $\epsilon$. Portanto, a pergunta é para qual sequência de Farey é que os termos adjacentes estão à distância, no máximo.$2\epsilon$ (e todos os pontos estão à distância $\epsilon$de algum ponto). Usando o fato de que a distância entre frações adjacentes$p_1/q_1,p_2/q_2$ em uma sequência do Farey é $1/(q_1q_2)$, não é difícil mostrar que a distância máxima na $q$a sequência Farey é $1/q$. Portanto, se você está buscando uma distância de$\epsilon$, seu algoritmo será executado a tempo $O(1/\epsilon)$ no pior dos casos.

Entretanto, "a maioria" de frações adjacentes no $q$A sequência do Farey está à distância $O(1/q^2)$e, portanto, em média, você provavelmente esperaria um tempo de execução de $O(\sqrt{1/\epsilon})$ (infelizmente, essa média é mais relativa à entrada do que ao algoritmo).