Existe um exemplo de uma linguagem recursiva que não é sensível ao contexto?

Eu tenho procurado uma linguagem prototípica para linguagens recursivas (decidíveis) que não seja sensível ao contexto sem sucesso. Por exemplo, é prototípico de linguagens regulares, para linguagens livres de contexto e para linguagens sensíveis ao contexto. Eu costumo considerar a linguagem que é aceita por uma máquina universal de Turing (UTM) como prototípica de recursivamente enumerável. No entanto, para os idiomas recursivos, não tenho um. Eu costumava pensar que era recursivo, mas a verificação de um número é primo pode ser feita por uma máquina de Turing limitada. Eu também tinha mas novamente verificando isso pode ser feito por uma máquina de Turing limitada. $a^*$ $a^nb^n$ $a^nb^nc^n$ $\{1^p | p \text { is prime}\}$ $\{1^{2^{n}}\}$

Por outro lado, as outras opções que encontrei são as máquinas de Turing que exigem que a saída da computação seja armazenada em algum lugar da máquina; no entanto, a saída não faz parte da linguagem aceita, que torna regular ou contextualizada a linguagem. grátis até agora. Por exemplo, a máquina que soma dois números representados por 1s e separados por um espaço e coloca o resultado depois. Nesse caso, o idioma aceito é na verdade que é regular! Se tentarmos fazê-lo como verificação, se tornarmos livres de contexto mas não recursivos! $1^*B1^*$ $1^nB1^mB1^{n+m}$

Então, é possível falar sobre uma linguagem recursiva que pode ser regular em essência, mas como está condicionada a fazer o cálculo e colocar um resultado na saída como um tipo de linguagem recursiva? Definitivamente, isso não pode ser feito em uma máquina de Turing limitada.

formal-languages turing-machines context-sensitive

— Ivan Meza
fonte

Linguagens sensíveis ao contexto são equivalentes às linguagens que podem ser decididas por máquinas de Turing com limite linear . Assim, qualquer decidable linguagem por um (não LBA) TM geral, não será sensível ao contexto (mas sim, pode ser gerada por uma gramática irrestrita )

— Ran G.

Se você quiser um exemplo específico, pense em idiomas no formato .

L = {⟨ M, x ⟩ ∣ M accepts x within | x |^{10} steps}

$L=\{ \langle M ,x \rangle \mid M \text{ accepts $x$ within $|x|^{10}$ steps}\}$

— Ran G.

Uau, excelente! Deixa comigo! Este é sempre decidível, pois só tenho que simular M passos! Muito obrigado!

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— Ivan Meza

Desde LINSPACE ® R, sim.

— Raphael

Aqui está uma prova mais formal, pelo truque padrão da diagonalização (deve ser folclore, mas vi recentemente aqui )

Permita que seja uma enumeração de gramáticas sensíveis ao contexto (convença-se de que só existem muitas delas contáveis; por que elas podem ser enumeradas?), $G_1, G_2, ...$

Seja enumeração de (ou seja, , , , etc. no caso do alfabeto binário). $x_1, x_2, \ldots,$ $\Sigma^*$ $x_1=\epsilon$ $x_2=0$ $x_3=1$ $x_4=00$

Considere o idioma:

L = {x_{i} ∣ x_{i} \notin L (G_{i})} .

$L = \{ x_i \mid x_i \notin L(G_i)\}.$

A reivindicação 1 não é sensível ao contexto: se era, havia um específico gerando-o, mas enquanto . $L$ $G_j$ $x_j\in L$ $x_j \notin G_j$

A reivindicação 2 é decidível: dado , apenas verificamos se gera (esse problema é conhecido como PSPACE completo, portanto, decidível). $L$ $x_i$ $G_i$

— Tocou.
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Este é tão legal que li algo assim para estabelecer a relação sobre complementos da família de idiomas. Mas usar essa construção para restringir a sensibilidade ao contexto, mantendo-a recursiva, é muito legal!

— Ivan Meza