Resolvendo T (n) = 2T (n / 2) + log n com o método da árvore de recorrência

Eu estava resolvendo relações de recorrência. A primeira relação de recorrência foi

$T(n)=2T(n/2)+n$

A solução deste pode ser encontrada pelo Teorema Mestre ou pelo método da árvore de recorrência. A árvore de recorrência seria algo como isto:

A solução seria:

$T(n)=\underbrace{n+n+n+...+n}_{\log_2{n}=k \text{ times}}=\Theta(n \log{n})$

Em seguida, enfrentei o seguinte problema:

$T(n)=2T(n/2)+\log{n}$

Meu livro mostra que, pelo teorema mestre ou mesmo por alguma abordagem de substituição, essa recorrência tem a solução $\Theta(n)$. Ele tem a mesma estrutura da árvore acima, com a única diferença que a cada chamada que realiza$\log{n}$trabalhos. No entanto, não consigo usar a mesma abordagem acima para esse problema.

O termo não recursivo da relação de recorrência é o trabalho para mesclar soluções de subproblemas. O nível$k$ da sua árvore de recorrência (binária) contém $2^k$ subproblemas com tamanho $\frac {n}{2^k}$, então você precisa primeiro encontrar o trabalho total no nível $k$ e, em seguida, resumir esse trabalho em todos os níveis da árvore.

Por exemplo, se o trabalho for constante $C$, então o trabalho total no nível $k$ será $2^k \cdot C$e o tempo total $T(n)$ será dada pela seguinte soma:

$$T(n) = \sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k C = C(2^{\log_2{n}+1}-2) = \Theta(n)$$

No entanto, se o trabalho crescer logaritmicamente com o tamanho do problema, você precisará calcular com precisão a solução. A série seria como a seguinte:

$$T(n)=\log_2{n}+\underbrace{2\log_2(\frac {n} {2})+4\log_2(\frac {n} {4})+8\log_2(\frac {n} {8}) + ....}_{\log_2{n} \text{ times}}$$

Será uma soma bastante complexa:

$$T(n)=\log_2{n}+\sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})$$

Denotarei temporariamente $m=\log_2{n}$ e simplifique a soma acima:

$$\sum_{k=1}^{m}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})=\\=\sum_{k=1}^{m}2^k(\log_2{n}-k)=\\=\log_2{n}\sum_{k=1}^{m}2^k-\sum_{k=1}^{m}k2^k=\\=\log_2{n}(2^{m+1}-2)-(m2^{m+1}-2^{m+1}+2)$$

Aqui eu usei uma fórmula para o $\sum_{k=1}^{m}k2^k$ soma do calculadora on-line de álgebra simbólica Wolfram | Alpha . Então precisamos substituir$m$ de volta por $\log_2{n}$:

$$T(n)=\log_2{n}+2n\log_2{n}-2\log_2{n}-2n\log_2{n}+2n-2$$ $$=2n-\log_2{n}-2=\Theta(n)$$

QED