O que são programas muito curtos com status de interrupção desconhecido?

Este programa de 579 bits no Cálculo lambda binário possui um status de parada desconhecido:

01001001000100010001000101100111101111001110010101000001110011101000000111001110
10010000011100111010000001110011101000000111001110100000000111000011100111110100
00101011000000000010111011100101011111000000111001011111101101011010000000100000
10000001011100000000001110010101010101010111100000011100101010110000000001110000
00000111100000000011110000000001100001010101100000001110000000110000000100000001
00000000010010111110111100000010101111110000001100000011100111110000101101101110
00110000101100010111001011111011110000001110010111111000011110011110011110101000
0010110101000011010

Ou seja, não se sabe se este programa termina ou não. Para determiná-lo, você deve resolver a conjectura de Collatz - ou, pelo menos, para todos os números de até 2 ^ 256. Neste repositório, há uma explicação completa de como este programa foi obtido.

Existem programas BLC (muito) mais curtos que também têm status de interrupção desconhecido?

Sim. Esta página diz que há 98 5-state máquinas de Turing cujo status de parada são desconhecidos. Irritantemente, ele não fornece exemplos de tais máquinas, mas esta página de 26 anos fornece 2 máquinas de Turing de 5 estados cujos status de parada eram aparentemente desconhecidos na época. (A pesquisa de "contador simples" levará você entre os 2.). Eu os copiei aqui, caso o link seja desativado:

Input Bit   Transition on State     Steps            Comment
             A   B   C   D   E

    0       B1L C1R D0R A1L H1L   > 2*(10^9)       ``chaotic''
    1       B1R E0L A0L D0R C0L

    0       B1L A0R C0R E1L B0L       ?        complex ``counter''
    1       A1R C0L D1L A0R H1L

Conjectura de Collatz:

O seguinte programa sempre pára:

void function( ArbitraryInteger input){
     while( input > 1){
            if(input % 2 == 0)
                input /= 2;
            else
                input = (input*3) + 1;
     }

     // Halt here
}

Pequena variação (ainda uma conjectura, porque se baseia em um resultado da de Collatz):

Para algumas entradas, o programa a seguir nunca entrará no mesmo estado duas vezes (onde o estado é determinado pelo valor mantido por "entrada"):

void function( ArbitraryInteger input){
     while( input >= 1){ // notice the "="
            if(input % 2 == 0)
                input /= 2;
            else
                input = (input*3) + 1;
     }
}

Observe que o segundo programa nunca pára, independentemente de o primeiro programa parar ou não.

Acredita-se que o primeiro programa sempre termine para qualquer entrada, no entanto, não temos a prova disso, e ainda pode existir algum número inteiro para o qual o programa não seja interrompido (também há um prêmio de US $ 100 por prová-lo) .

O segundo programa também é interessante: afirma que o programa nunca entrará no mesmo estado duas vezes para alguma entrada, o que basicamente exige que o primeiro programa tenha uma sequência conhecida por divergir sem repetir. Não requer apenas que a conjectura de Collatz seja falsa, mas exige que ela seja falsa e sem loops , além do óbvio loop 1,4,2,1.

• Se Collatz tiver apenas contra-exemplos em loop, a variação na conjectura é falsa

• Se Collatz é falso sem loops, a variação na conjectura é verdadeira

• Se Collatz for verdadeiro, a variação é falsa

• Se Collatz é falso, porque possui loops e porque possui um número para o qual diverge, a variação na conjectura é verdadeira (apenas requer um número para o qual diverge sem inserir um loop)

Acho que a variação é mais interessante (não apenas porque a encontrei por acidente e a notei graças a @LieuweVinkhuijzen), mas porque na verdade exige uma prova real. Por força bruta, podemos encontrar um loop um dia ou outro (e esse será um loop com mais de 70 números: o estado da arte atual é que não pode haver loops infinitos menores que 68 ou mais) e brute forçar não é interessante: é apenas trituração de números. No entanto, não podemos forçar brutalmente uma sequência divergente infinita, não sabemos se realmente terminará sem uma prova real.

Edição: Eu pulei a parte sobre Collatz Conjecture desculpe, eu realmente respondi de cor com um algoritmo que li sobre alguns anos atrás, eu não esperava que isso já fosse mencionado.

EDIT2: Um comentário me fez notar que eu escrevi o algoritmo com um erro, no entanto, esse erro realmente torna minha resposta diferente da conjectura de Collatz (mas uma variação direta dele).