Calcular a composição relacional em

Definições: Seja um DAG sem auto-loops e e sejam gráficos.$G=(V,E)$$X \subseteq G$$Y \subseteq G$

Entrada: . Saída: A composição relacional composição relacional em .$X,Y$ $X \circ Y$$\mathcal{O}(|E||V|)$

• Caso 1:. Dois para loops acima de e : Tempo de execução .$|E| \le |V|$$E(X)$$E(Y)$$\le \mathcal{O}(|E|^2) \le \mathcal{O}(|E||V|)$
• Caso 2:$|V| \le |E|$
  1. Desenhe o gráfico : . Chamamos arestas de preto e de vermelho.$(V(G),E(X) \cup E(Y))$$(O(|V|)+\mathcal{O}(|2E|)))$$E(X)$$E(Y)$
  2. Classifique-o topologicamente (Kahn: ). Deixe o primeiro nível ser , e as arestas vão de um nível para um nível mais alto.$\mathcal{O}(|V|) + \mathcal{O}(|E|)$$0$
  3. Desenhe este gráfico duas vezes.
  4. Na primeira cópia, remova todas as bordas vermelhas que começam no nível par e todas as bordas pretas que começam no nível ímpar: .$\mathcal{O}(E)$
  5. Na segunda cópia, remova cada "par preto" e "ímpar vermelho": .$\mathcal{O}(E)$
  6. Para a primeira cópia:
     • para todos os nós no nível$u$$2i$
     • para todos os nós no nível$v$$2i+1$
     • borda do relatório (Tempo de execução ).$(u,v)$$\mathcal{O}(V^2) \le \mathcal{O}(EV)$
  7. Para a segunda cópia: O mesmo para " ".$2i+1$
  8. União os nós relatados, elimine duplicatas (espero que a representação gráfica permita isso).$\mathcal{O}(V^2) <= \mathcal{O}(EV)$

Alguns de vocês poderiam examinar meu algoritmo e verificar se

• isso está correto
• está em$\mathcal{O}(|E||V|)$

Se estiver correto, meu algoritmo já "existe"? Caso contrário, você poderia fornecer uma alternativa? Aceito a primeira resposta, mas voto a favor se mais algumas pessoas tiverem a gentileza de verificar.

EDIT: Etapa 6 Parece estar em às vezes. Eu gostaria que isso não fosse verdade. Alguém tem um algoritmo de trabalho?$O(E^2)$

O problema está na etapa 6 (pelo que entendi).

Essencialmente, sua idéia é verificar as seqüências se e . A classificação topológica está correta, pois nessas seqüências as duas arestas devem ser uma após a outra.$(u,w)(w,v)$$(u,w) \in E(X)$$(w,v) \in E(Y)$

Uma aresta é preta se pertencer a . Uma aresta é vermelha se pertencer a . Uma aresta pode ter duas cores neste caso. $(u,w)$$E(X)$$(w,v)$$E(Y)$

Um nó verificará que cada vizinho [st é preto] se tiver uma borda vermelha para um de seus vizinhos. Nesse caso:$u$$w$$(u,w)$$w$$(w,v)$$\sum _{u \in V} deg(u). \sum _{w \in N(x)} deg(w) = O(E^2)$

Pelo que entendi: você fez uma filtragem de algumas arestas desnecessárias (etapa 4,5) - no entanto, pode ser o pior caso que levará a uma complexidade maior que . $O(E^2)$

O Teorema 2.29 na página 60 da Teoria da Análise de Sippu e Soisalon-Soininen fornece um algoritmo para calcular (entre outras operações sobre relações) a composição de duas relações. O algoritmo é executado no tempo , em que é o tempo necessário para executar operações de união ou atribuição em conjuntos de vértices. O resultado dessa operação é um conjunto de vértices por vértice representando seus vizinhos. Esse algoritmo funciona em gráficos arbitrários, não apenas acíclicos.$O(t(|V|+|E|))$$t$