Como posso reduzir a soma de subconjuntos para partição?

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Talvez isso seja bastante simples, mas tenho alguns problemas para obter essa redução. Eu quero reduzir a soma de subconjuntos à partição, mas neste momento não vejo a relação!

É possível reduzir esse problema usando uma redução de Levin?

Se você não entende, escreva para esclarecimentos!

complexity-theory np-complete reductions

— dbonadiman
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Seja uma instância da soma do subconjunto, onde é uma lista (conjunto múltiplo) de números e é a soma alvo. Deixe . Deixe- ser a lista formada por adição de a . $(L,B)$ $L$ $B$ $S = \sum L$ $L'$ $S+B,2S-B$ $L$

(1) Se houver uma sub-lista somando , então pode ser particionado em duas partes iguais: e . De fato, a primeira parte é somada a , e a segunda a . $M \subseteq L$ $B$ $L'$ $M \cup \{ 2S-B \}$ $L\setminus M \cup \{ S+B \}$ $B+(2S-B) = 2S$ $(S-B)+(S+B) = 2S$

(2) Se pode ser dividido em duas partes iguais , então existe uma sub-lista de soma de . De fato, desde que e cada parte é igual a , os dois elementos pertencem a partes diferentes. Sem perda de generalidade, . O resto dos elementos em pertence a e soma para . $L'$ $P_1,P_2$ $L$ $B$ $(S+B)+(2S-B) = 3S$ $2S$ $2S-B \in P_1$ $P_1$ $L$ $B$

— Yuval Filmus
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Mas o problema de soma subconjunto padrão usa todos os números inteiros, e usos problema de partição apenas inteiros não negativos ...

— gukoff

SUBSET-SUM é NP-completo mesmo com números inteiros não negativos, por exemplo, a redução de 3SAT termina com números inteiros não negativos. Além disso, provavelmente há uma redução direta do número inteiro SUBSET-SUM para o número inteiro não negativo SUBSET-SUM.

— Yuval Filmus

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Sim, eu sei, e essa redução é muito fácil. Apenas observando que não é a soma do subconjunto no formulário "padrão". :)

— gukoff

Também funcionaria se for ? como , como

L^{^{'}}

$L^{'}$

L ⋃ {B, S - B}

$L \bigcup \{B, S-B\}$

| {B, S - B} | = B

$|\{B, S-B\}| = B$

| L | = B

$|L| = B$

— Curioso

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@Issam Não, essa instância da PARTITION sempre teria a solução .

L, {B, S - B}

$L,\{B,S-B\}$

— Yuval Filmus

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A resposta mencionada por @Yuval Filmus está incorreta (está correta APENAS se não houver números inteiros negativos). Considere o seguinte multiset:

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2\}$

e a soma alvo é . Sabemos que não há subconjunto. Agora, construímos a instância para o problema da partição. Os dois novos elementos adicionados são e . O multiset agora é: e a soma total é . $-2$ $2\sigma-t = 12$ $\sigma+t = 3$

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12\}$

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$20$

O problema da partição resolve a resposta, fornecendo o subconjunto Aqui, os 2 novos elementos estão no mesmo subconjunto (não há outra maneira de particionar na metade da soma). Portanto, este é um exemplo contrário. A resposta correta é a seguinte:

{2, 2, 2, 2, 2}

$\{2, 2, 2, 2, 2\}$

Adicione um elemento cujo valor seja . A soma total do multiset agora é . Resolva o problema de partição que fornecerá 2 subconjuntos da soma . Apenas uma das partições conterá o novo elemento. Escolhemos a outra partição cuja soma é e resolvemos o problema do subconjunto, reduzindo-o a um problema de partição. Isto é o que o link explica. $2t-\sigma$ $2t$ $t$ $t$

— Rohit Kumar Jena
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Mas, como Yuval diz em um comentário à sua resposta, a soma do subconjunto é NP - completa mesmo se restringirmos a números inteiros positivos. Portanto, podemos assumir que não há números negativos.

— David Richerby

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Sim, eu concordo, a soma do subconjunto é NP-completa, mesmo no caso de números inteiros positivos. Eu estava apenas fornecendo uma prova mais completa para qualquer número inteiro.

— precisa

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"Apenas fornecendo uma prova mais completa" e também alegando erroneamente que uma resposta existente está incorreta.

— David Richerby

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É incorreto no sentido de que não funciona para números inteiros negativos. :) Paz :)

— Rohit Kumar Jena /

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Aqui está uma prova direta:

É fácil ver que SET-PARTITION pode ser verificado em tempo polinomial; dada uma partição apenas soma os dois e verifica se suas somas são iguais, o que obviamente é uma verificação de tempo polinomial (porque o somatório é uma operação polinomial e estamos executando apenas no máximo muitos somatórios). $P_1,P_2$ $|X|$

O núcleo da prova está na redução de SUBSETSUM a PARTITION; para esse fim, dado o conjunto $X$ e um valor $t$ (a consulta de soma do subconjunto), formamos um novo conjunto $X'=X \cup \{s-2t\}$ onde $s=\sum_{x \in X}x$ . Para ver que isso é uma redução:

( $\implies$ ) suponha que exista algum $S \subset X$ tal que $t=\sum_{x \in S}x$ então teríamos que
$s - t = \sum_{x \in S \cup {s - 2 t}} x,$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in S\cup \{ s-2t \} }x, \end{equation*}$ $s - t = \sum_{x \in X^{'} ∖ (S \cup {s - 2 t})} x$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in X' \setminus( S\cup \{s-2t\})}x \end{equation*}$ e teríamos esse $S\cup \{ s-2t \}$ e $X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ formar uma partição de $X'$
( $\impliedby$ ) Suponha que exista uma partição $P_1',P_2'$ de $X'$ tal que $\sum_{x \in P_1'}x= \sum_{x \in P_2'}x$ . Observe que isso induz uma partição natural $P_1$ e $P_2$ de $X$ tal modo que WLOG temos
$s - 2 t + \sum_{x \in P_{1}} x = \sum_{x \in P_{2}} x$ $\begin{equation*} s-2t+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x \end{equation*}$ $⟹ s - 2 t + \sum_{x \in P_{1}} x + \sum_{x \in P_{1}} x = \sum_{x \in P_{2}} x + \sum_{x \in P_{1}} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+\sum_{x \in P_1}x+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x+\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ s - 2 t + 2 \sum_{x \in P_{1}} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+2\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ \sum_{x \in P_{1}} x = t$ $\begin{equation*} \implies \sum_{x \in P_1}x = t \end{equation*}$

Por isso, a partir de uma solução de $t=\sum_{x \in S}x$ que pode formar um parition $P_1 =S\cup \{ s-2t \}$ , $P_2=X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ e, inversamente, a partir de uma partição $P_1',P_2'$ podemos formar uma solução $t=\sum_{x \in P_1'\setminus \{s-2t\}}x$ e, portanto, o mapeamento $f:(X,t)\rightarrow X'$ é uma redução (porque $(X,t)$ está no idioma / conjunto SUBSETSUM $\Leftrightarrow X'=f(X,t)$ é no idioma / set PARTITION) e fica claro que a transformação foi feita em tempo polinomial.

— Pedrpan
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Soma do subconjunto:

Entrada: {a1, a2, ..., am} st M = {1..m} e ai são números inteiros não negativos e S⊆ {1..k} e Σai (i∈S) = t

Partição:

Entrada: {a1, a2, ..., am} e S⊆ {1, · · ·, m} st ai (i∈S) = Σaj (j∉S)

Prova de partição Np: se o prover fornecer partições (P1, P2) para o verificador, o verificador poderá calcular facilmente a soma de P1 e P2 e verificar se o resultado é 0 em tempo linear.

NP_Hard: SubsetSum ≤p PARTITION

Seja x entrada de SubsetSum e x = 〈a1, a2, ..., am, t〉 e Σai (i de 1 para m) = a

Caso1: 2t> = a:

Seja f (x) = 〈a1, a2, ..., am, am + 1〉 onde am + 1 = 2t − a

Queremos mostrar que x∈SubsetSum ⇔ f (x) ∈PARTITION

então existe S⊆ {1, ..., m} st T = {1..m} - S e Σai (i∈T) = em

e Seja T '= {1 ... m, m + 1} - S so Σaj (j∈T') = a-t + 2t-a = t

que é exatamente Σai (i∈S) = te mostra f (x) ∈PARTIÇÃO

Agora também mostraremos que f (x) TIPARTIÇÃO ⇔ x∈SubsetSum

então existem S⊆ {1, ..., m, m + 1} st T = {1, ..., m, m + 1} - S e Σai (i∈T) = [a + (2t-a ) -t] = t

e mostra Σai (i∈T) = Σaj (j∈S), então m + 1∈T e S⊆ {1, · ·, m} e Σai (i∈S) = t

então x∈SubsetSum

Caso 2: 2t = <a :

podemos verificar o mesmo, mas desta vez am + 1 é − 2t

— Behrooz Tabesh
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esse link tem uma boa descrição de ambas as reduções, partição para soma do subconjunto e soma do subconjunto para partição. Eu acho que é mais óbvio do que a resposta de YUVAL . link útil

— user44970
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— Tom van der Zanden