Fornecendo Exemplo Apertado na Análise de Algoritmo de Aproximação

Digamos que encontrei um algoritmo de 2 aproximações para um determinado problema e quero mostrar que a análise é rigorosa.

Agora preciso criar um exemplo de tamanho genérico $n$ ou basta mostrar que tenho um exemplo de tamanho $10$ para o qual o algoritmo produz $2OPT$?

Isso depende da sua definição de taxa de aproximação. Normalmente, a taxa de aproximação é definida como a pior razão entre a solução ideal e a produzida pelo seu algoritmo. Se for esse o caso, tudo o que você precisa para mostrar que a proporção é pequena é um exemplo ruim.

Às vezes, no entanto, você prova algo como $ALG \leq 2OPT + 1$. Isso significa que sua taxa de aproximação é realmente$2 + o(1)$. Para mostrar que isso é justo, você precisará de um exemplo para vários tamanhos infinitos (mas não necessariamente para um tamanho genérico ; talvez todos os seus exemplos tenham tamanho uniforme).

Se o seu algoritmo atingir uma aproximação de 1,5 em todos, exceto um conjunto finito $S$ de instâncias, nas quais seu algoritmo alcança uma aproximação 2, você pode "melhorar" seu algoritmo "conectando" as soluções ideais para as instâncias em $S$no seu algoritmo. Em resumo, para fins teóricos, um algoritmo que obtém sucesso em todos, exceto em um conjunto finito de instâncias, é tão bom quanto um algoritmo que sempre obtém sucesso. Portanto, um exemplo restrito teoricamente significativo é na verdade uma família infinita de exemplos restritos. Como Yuval diz, qualquer família infinita de exemplos serve, você não precisa de um exemplo para cada tamanho de instância.

Dito isto, a maioria dos problemas permite "ampliar" um pequeno exemplo para um maior.