Como posso provar que essa linguagem não é livre de contexto?

Eu tenho o seguinte idioma

$\qquad \{0^i 1^j 2^k \mid 0 \leq i \leq j \leq k\}$

Estou tentando determinar em qual classe de idioma Chomsky se encaixa. Eu posso ver como isso pode ser feito usando uma gramática sensível ao contexto, então eu sei que é pelo menos sensível ao contexto. Parece que não seria possível criar uma gramática livre de contexto, mas estou tendo problemas para provar isso.

Parece para passar o lema de bombagem do garfo porque se é tudo colocado na terceira parte de qualquer palavra (a secção com todos os s). Ele poderia bombear o e tantas vezes quanto você quer e ele iria ficar na língua. Se estou errado, você pode me dizer por que, se estou certo, ainda acho que essa linguagem não é livre de contexto, então como poderia provar isso? $uvwxy$ $2$ $v$ $x$

— justausr
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Não sei como torná-lo uma prova formal, mas garantir que i <= j <= k requer contexto (o valor da variável anterior).

— Kevin

possível duplicata de Como provar que uma linguagem não é livre de contexto?

— Raphael

@ Rafael, eu li esse post antes deste e não sabia como aplicá-lo ao meu exemplo por causa de sua abstração. Como o relacionamento de cada caractere é> = o número de caracteres anteriores, eu não conseguia ver como dividir o uxyzv na palavra para usar o lema de Ogden. BlueMagister e jmad expandiram no outro post para deixar claro para o meu exemplo.

— justausr

@ Rafael Não concordo que esta seja uma aplicação trivial do caso geral. Escolher qual método usar e em qual exemplo aplicá-lo não é tão fácil.

— Gilles 'SO- stop being evil'

Respostas:

Você pode forçar o bombeamento a estar em alguns lugares, usando o lema de Ogden , por exemplo, marcando todos os 0s.

Suponha que seja livre de contexto, o lema de Ogden fornece um , um que está no idioma e você "marca" todos os 0s. Então qualquer fatoração deve ser tal que exista um em ou . Você também pode assumir e pois e devem ser substrings do seu idioma. $p>0$ $w=0^p1^p2^p$ $w=uxyzv$ $0$ $x$ $z$ $x=a^k$ $z=b^m$ $xx$ $zz$

Se então tem mais 0 que 1 $z=0...0$ $w=ux^2yz^2v$
Se e então possui mais 1 que 2. $x=0..0$ $z=1..1$ $w=ux^2yz^2v$
Se e então possui mais 0 que 1. $x=0..0$ $z=2..2$ $w=ux^2yz^2v$

Portanto, não é uma palavra do seu idioma. Portanto, não é livre de contexto. $ux^2yz^2v$

Para outras técnicas, consulte a discussão: Como provar que uma linguagem não é livre de contexto?

— jmad
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É para o mesmo idioma que eu tenho? Parece ser para o idioma semelhante em que todos os zeros e zeros são iguais. Este idioma tem o número de 2's> = o número de 1's> = o número de 0's

— justausr

Sim, mas usando qualquer um dos lemas de bombeamento, você escolhe a palavra (e eu escolhi ): O lema de Ogden deve funcionar para todos eles.

0^{p} 1^{p} 2^{p}

$0^p1^p2^p$

— Jmad

Entendi, nunca ouvi falar do lema de Ogden, então terei que investigá-lo. Eu estava certo ao afirmar que falha no lema de bombeamento?

— 21712 justausr

@justausr também não, até recentemente (e graças à discussão a que me referi). E sim, você estava certo: o lema de bombeamento faz quase a mesma coisa, mas não escolher onde bombear o torna inútil aqui.

— Jmad

O lema de bombeamento deve resolver seu problema em relação à terceira parte da palavra; observe que quando você divide , qualquer combinação de também está no idioma, inclusive quando . Tente isso. $z = uvwxy$ $uv^nwx^ny$ $n = 0$

EDIT: Como jmad afirma , o Lemma Pumping é como um jogo:

O lema de bombeamento fornece um $p$

Você fornece uma palavra da língua de comprimento pelo menos $s$ $p$

O lema de bombeamento reescreve-o assim: com algumas condições ( e ) $s=uvxyz$ $|vxy|≤p$ $|vy|≥1$

Você fornece um número inteiro $n≥0$

Se não estiver em , você vence, não é livre de contexto. $uv^nxy^nz$ $L$ $L$

Portanto, o que você precisa fazer é declarar uma palavra, dividir 3 em casos e mostrar que, para cada caso, você pode encontrar um tal que a palavra resultante não esteja no idioma. $n$

Quando você divide , pense em todos os casos em que o pode se enquadrar. Observe que, se o não se enquadra nos 2, é fácil bombear os 0 e 1 até que superem os 2 e, em seguida, você tem uma palavra que não está no idioma. Minha sugestão é que, se o cair em 2 territórios, você também pode fazer com que e desapareçam definindo , então . Ao eliminar um 2, você pode chegar a uma palavra que não cai no idioma. $s=uvxyz$ $vxy$ $vxy$ $vxy$ $v$ $y$ $n=0$ $uv^nxy^nz = uxz$

— Blue Magister
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Você está dizendo colocar todo o uvwxy na seção com 2's?

— justausr

Se for dada a palavra certa. Vou elaborar minha resposta.

— Blue Magister

Aqui, tente agora. Não tenho certeza se meu lema de bombeamento é igual ao seu lema de bombeamento, por isso apelo à Wikipedia .

— Blue Magister