Suposição sobre pesos em circuitos limiares

Uma porta de limite que implementa uma função de limite linear em entradas booleanas é dada pela equação: onde . Os são chamados de pesos da função de limiar e é chamado de limiar e, naturalmente, o gate dispara na entrada se a soma ponderada dada pela equação acima exceder . $n$ $x_1, x_2 \ldots, x_n$ $w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots, w_n x_n \ge t$ $w_1, \ldots, w_n, t \in \mathbb{R}$ $w_i$ $t$ $1$ $x$ $t$

Agora, em quase toda a literatura sobre circuitos limiares, encontro esse fato (que acho que é folclore, pois não consegui encontrar uma prova em lugar algum): Os na equação linear acima podem ser feitos inteiros (em bits), e um circuito de limiar composto por esses portões ainda calculará o que for possível com pesos reais. Pensei nisso e acho que deve ser um truque simples, mas não consegui obter uma prova desse fato. Alguém pode me ajudar ou me fornecer uma referência? (a única referência que encontrei foi um texto de Muroga, que não consegui obter) $w_i$ $n \log{n}$

complexity-theory circuits

— Nikhil
fonte

Dado $w_1,\ldots,w_n,t$ , deixei $X$ ser o conjunto de atribuições que $\sum_i w_i x_i \geq t$ e considere o programa linear com variáveis $z_1,\ldots,z_n$ e a $2^n$ restrições

\begin{aligned} \sum_{i} z_{i} x_{i} \geq + 1 & (x_{1}, \dots, x_{n}) \in X \\ \sum_{i} z_{i} x_{i} \leq - 1 & (x_{1}, \dots, x_{n}) \notin X \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_i z_i x_i \geq +1 & (x_1,\ldots,x_n) \in X \\ \sum_i z_i x_i \leq -1 & (x_1,\ldots,x_n) \notin X \end{align*}$ Este programa linear (com uma função objetivo constante) é viável (desde que

z_{i} = w_{i} / t

$z_i = w_i/t$ é uma solução), e também tem uma solução

z_{1}, \dots, z_{n}

$z_1,\ldots,z_n$ que é um vértice. Como tal, é a solução de um sistema de

n

$n$ equações da forma

\sum_{i} z_{i} x_{i} = \pm 1.

$\sum_i z_i x_i = \pm 1.$ Regra de Cramer dá a cada

z_{i}

$z_i$ como uma proporção de dois

n \times n

$n \times n$ determinantes de matrizes de

0, \pm 1

$0,\pm 1$ entradas; de fato, o denominador é o mesmo. Cada numerador

N_{i}

$N_i$ e o denominador comum

D

$D$ é no máximo

n!

$n!$ em magnitude, multiplicando tudo por

D

$D$ , obtemos uma solução integral

N_{1}, \dots, N_{n}, D

$N_1,\ldots,N_n,D$ , onde todas as quantidades são no máximo

n! \leq n^{n} = 2^{n \log n}

$n! \leq n^n = 2^{n\log n}$ em magnitude.

— Yuval Filmus
fonte

Parece-me que, com este programa linear, você está arriscando que a solução de vértice não tenha a mesma função que a original: a saber, os dois conjuntos de equações têm o mesmo lado direito e, portanto, você corre o risco de que a forma linear dada pela solução de vértice têm o mesmo valor nas entradas, tanto de

X

$X$ e não de

X

$X$ . Para consertar isso, o lado direito deve ser diferente. A prova normal que conheço usa

n + 1

$n+1$ variáveis (ou seja, também uma variável para

t

$t$ ) e usa os lados direito

- 1

$-1$ e

1

$1$ .

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@ Kristoffer Você está certo, foi um erro de digitação. eu quis dizer

\geq + 1

$\geq +1$ e

\leq - 1

$\leq -1$ , como você escreve.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Existe um erro de digitação em como você está contando o número de equações a resolver? Parece que você tem

2^{n}

$2^n$ equações lineares simultâneas a serem resolvidas. (um para cada

x

$x$ ) E, portanto, todas as soluções são no máximo

(2^{n})!

$(2^n)!$ em magnitude, porque as matrizes de regra de Cramer são

2^{n}

$2^n$ dimensional. Estou esquecendo de algo?

— gradstudent

Oh! Esperar! Você está dizendo que se pode escolher qualquer

n

$n$ do

x

$x$ s arbitrariamente e resolver esse subsistema é suficiente para fornecer um vértice e, portanto, você está pronto?

— gradstudent

Um vértice é a solução de

n

$n$ equações linearmente independentes.

— Yuval Filmus