Relação de recorrência para complexidade de tempo

Estou procurando uma aproximação de $\Theta$

$$T(n) = T(n-1) + cn^{2}$$

Isto é o que eu tenho até agora:

$$\begin{align*} T(n-1)& = T(n-2) + c(n-1)^2\\ T(n) &= T(n-2) + c(n-1) + cn^2\\[1ex] T(n-2) &= T(n-3) + c(n-2)^2\\ T(n) & = T(n-3) + c(n-2)^2 + c(n-1)^2 + cn^2 \\[1ex] T(n-3) &= T(n-4) + c(n-3)^2 \\ T(n) &= T(n-4) + c(n-3)^2 + c(n-2)^2 + c(n-1)^2 + cn^2 \end{align*}$$

Então, nesse ponto, eu ia generalizar e substituir na equação.$k$

$$T(n)= T(n-k) + (n-(k-1))^2 + c(k-1)^2$$

Agora, começo a trazer o caso base 1 para a imagem. Em alguns problemas anteriores mais simples, consegui definir minha equação k generalizada igual a 1 e depois resolver . Em seguida, coloque volta na equação para obter minha resposta final.$k$$k$

Mas estou totalmente preso na parte . Quero dizer, eu deveria realmente esconder tudo isso? Eu fiz isso e obtive . Neste ponto, estou pensando que devo ter feito algo errado, pois nunca vi isso em problemas anteriores.$(n-k+1)^2$$k^2-2kn-2k+n^2 +2n +1 = 1$

Alguém poderia me oferecer alguma ajuda sobre como resolver este? Eu apreciaria muito. Também tentei outra abordagem em que tentei definir da última parte da equação e obtive esse . Liguei n de volta à equação no final e finalmente obtive como resposta. Eu não tenho idéia se isso está certo ou não.$n-k = 0$$k = n$$n^2$

Estou em uma classe de análise de algoritmos e começamos a fazer relações de recorrência e não tenho 100% de certeza se estou corrigindo esse problema. Chego a um ponto em que estou preso e não sei o que fazer. Talvez eu esteja fazendo errado, quem sabe. A pergunta não se importa com limites superiores ou inferiores, apenas quer um teta.

Apenas continue seu raciocínio da seguinte maneira.

$$\begin{eqnarray} T(n) &=& T(n-1) + cn^2 \\ &=& T(n-2) + c(n-1)^2 + cn^2 \\ &=& \ldots \\ &=& T(n-n) + c(1^2) + c(2^2) + \ldots cn^2 \\ &=& T(0) +c\sum_{1\leq i\leq n} i^2. \end{eqnarray}$$

Você sabe como simplificar isso usando a fórmula de adição para os primeiros quadrados? $n$

Mais geralmente, qualquer relação de recorrência da forma tem a solução .$T(n) = T(n-1) + f(n)$$T(n) = \sum_{i=0}^n f(i)$

às vezes é difícil lembrar as fórmulas, a integração pode ser útil -

$$\sum_{i=1}^n i^2 \approx \int_1^n i^2 di = \frac{1}{3}i^3 \bigg]_1^n = \frac{1}{3}(n^3 - 1) \leq cn^3 = O(n^3)$$