O POSIX BRE pode expressar todos os idiomas comuns?

Parece que "Expressões regulares básicas", conforme definidas no POSIX.1-2008 , não suportam alternância a|b(embora algumas implementações grep reconheçam a versão de escape \|).

Como as linguagens regulares são fechadas sob união por definição, isso significa que o POSIX BRE possui um poder menos expressivo do que um autômato finito? Ou existe alguma maneira de simular alternância usando outras construções?

formal-languages regular-expressions

— Steve Kobes
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De fato, a linguagem POSIX BRE não pode expressar todas as expressões regulares porque falta alternância. Não consegue nem reconhecer todos os idiomas finitos, muito menos todos os idiomas regulares.

Por exemplo, não é reconhecível como BRE. Para provar isso, considere qual poderia ser a forma sintática de nível superior: $\{ab, ba\}$

Não pode ser uma das formas de caractere único, pois o idioma possui palavras com tamanho . $\gt 1$
Não pode ser porque isso corresponderia à string vazia. $R^*$
Não pode ser exceto com (nesse caso, voltamos ao problema original) porque isso corresponderia a cadeias de diferentes comprimentos ou à cadeia vazia. $R^{\{m,n\}}$ $m=n=1$
Portanto, tem que haver concatenação: . Agora considere como a b é reconhecido:
- Se reconhece , em seguida, não deve reconhecer qualquer coisa outra coisa senão a cadeia vazia. Portanto, deve reconhecer e voltamos ao problema original. $R_1$ $ab$ $R_2$ $R_1$ $\{ab,ba\}$
- Se reconhece , mas não , em seguida, deve reconhecer . Mas, em seguida, reconhece todas as palavras da forma onde reconhece , então não deve reconhecer qualquer coisa diferente de . Não há como reconhecer . $R_1$ $a$ $ab$ $R_2$ $b$ $R_1R_2$ $u b$ $R_1$ $u$ $R_1$ $a$ $ba$
- Se reconhece nem nem , em seguida, a única maneira para reconhecer é se reconhece a cadeia vazia, caso em que estamos de volta ao problema original como acima, mas por neste momento. $R_1$ $ab$ $a$ $R$ $ab$ $R_1$ $R_2$

Quando “voltamos ao problema original”, isso significa que a única solução para encontrar um BRE reconhece o idioma é encontrar um BRE menor que possua a mesma propriedade. Esta é uma descida infinita , portanto não há BRE que possua a propriedade desejada.

Eu não acho que exista uma caracterização "legal" de linguagens reconhecíveis para BRE, por exemplo, linguagens reconhecíveis por uma classe de autômatos "legal".

$\{w w \mid w \in \{a,b\}^*\}$ $.*$\1

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
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Se você estiver usando uma ferramenta como grep, que pode aceitar várias expressões separadas por nova linha, é usar o produto cartesiano de todas as possíveis alternâncias (por exemplo, {ab, ba} {ab, ba} se tornando {abba, abba, baab, baba}) suficiente para ser equivalente a qualquer "BRE-mais-alternação" e, portanto, a qualquer linguagem regular?

— usar o seguinte código

@ Random832: Tente fazer (abc|bac)*.

— rici 28/08