Largura da árvore dos gráficos da grade quadrada kxk

De acordo com alguns slides que encontrei no google, a largura de árvore de qualquer$k \times k$ gráfico de grade quadrada $G$ é $tw(G) = k$. Comecei a pesquisar sobre largura de árvore e decomposição de árvores e, na maioria das vezes, faz sentido. No entanto, estou particularmente interessado no$k \times k$ caso de gráfico de grade quadrada, mas têm se debatido sobre como é possível fazer uma decomposição em árvore desse gráfico com essa largura baixa.

Um dos problemas que encontro ao tentar extrair árvores de decomposição de pequenas grades quadradas com grupos de no máximo $k+1$ (para garantir uma árvore de decomposição onde a largura é $k$) é que, como o gráfico é "cíclico", um dos nós de canto aparece em duas extremidades opostas da árvore, mas não em nenhum nó no caminho entre os dois. Isso viola claramente a propriedade de coerência das árvores de decomposição, que de acordo com a Wikipedia (que fornece uma definição mais precisa do que a maioria) é:

Se , e são nós (na árvore de decomposição) e está no caminho de para , então $X_{i}$$X_{j}$$X_{k}$$X_{k}$$X_{i}$$X_{j}$$X_{i}\cap X_{j}\subseteq X_{k}$.

Para o caso do $3 \times 3$ gráfico, a única árvore de decomposição válida (ou pelo menos o que eu acredito ser válida) que eu consigo pensar contém 2 nós: $\{\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}, \{2, 4, 5, 6, 8\}\}$ onde os nós são rotulados por linha começando no canto superior esquerdo:

$1\space2\space3$

$4\space5\space6$

$7\space8\space9$

Fiz isso usando os vértices de perímetro do primeiro nó da árvore e o vértice interno ($5$) junto com seus vértices adjacentes para garantir que todas as arestas e vértices sejam incluídos.

Em última análise, minha pergunta é: como pode a largura de árvore de um quadrado $k \times k$ gráfico de grade quadrada na verdade ser igual a $k$? E se isso estiver correto, você poderia apresentar / explicar um exemplo simples de uma árvore de decomposição que demonstra essa propriedade?

A largura da árvore (e largura do caminho) do $k\times k$ grade é exatamente $k$. (E, de maneira mais geral, a largura da árvore e caminho do$k\times\ell$ grade é exatamente $\min\,\{k,\ell\}$) Para a grade de exemplo

os sacos da decomposição da árvore são $\{1,2,3,4\}, \{2,3,4,5\}, \{3,4,5,6\}, ..., \{6,7,8,9\}$.

Observe que a bolsa $\{1,2,3,4\}$ já contém todas as arestas adjacentes a $1$, portanto, não precisamos incluir esse vértice novamente. Similarmente,$\{2,3,4,5\}$ contém todas as arestas adjacentes a $2$ que ainda não estavam na primeira sacola.