O problema da parada é decidível para programas puros em um computador ideal?

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É bastante simples entender por que o problema da parada é indecidível para programas impuros (ou seja, aqueles que têm E / S e / ou estados dependentes do estado global da máquina); mas intuitivamente, parece que a interrupção de um programa puro em um computador ideal seria decidida por, por exemplo, análise estática.

Este é realmente o caso? Caso contrário, quais são alguns contra-exemplos ou documentos que refutam essa reivindicação?

halting-problem static-analysis

— Jules
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Observe que as provas padrão de que o problema de parada é indecidível (como o descrito na wikipedia: en.wikipedia.org/wiki/Halting_problem#Sketch_of_proof ) funcionam com modelos de computação que nem sequer tentam representar E / S. E enquanto, por exemplo, as Máquinas de Turing são stateful, seu comportamento é formalmente definido em termos de funções puras. Então, em certo sentido, "programas puros em um computador ideal" é realmente o cenário em que o problema de interrupção geralmente se mostra indecidível.

— Ben Ben

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Que pesquisa você fez? O "Problema de parada" do Google já deveria ter respondido a essa pergunta para você.

— Jonathan Cast

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Aqui está uma prova de indecidibilidade por redução do problema da parada.

Redução: Dada uma máquina e uma entrada , construa uma nova Máquina de Turing que não leia nenhuma entrada, mas grava e na fita e simula em até parar. $M$ $x$ $H$ $M$ $x$ $M$ $x$ $M$

O comportamento desta nova máquina é independente da fita de entrada; portanto, é uma máquina de Turing pura, na qual apenas a análise estática é aplicável. Se a análise estática fosse suficiente, poderia mostrar se , o que mostraria se para , o que resolveria o problema de parada de máquinas impuras, que sabemos ser indecidíveis e, portanto, seu problema também é indecidível. $H$ $H$ $M$ $x$

— Lieuwe Vinkhuijzen
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O branco problema fita parada

— Hendrik Jan

@HendrikJan Precisely!

— Lieuwe Vinkhuijzen 13/09/16

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Não, não é e, além disso, não depende de E / S.

Contra-exemplo simples: escreva um programa para encontrar um número ímpar perfeito (este é um problema em aberto: ainda não sabemos se existe algum) - ele não recebe nenhuma entrada e não executa tarefas impuras ; pode parar quando encontra um ou pode funcionar infinitamente (no caso de esse número não existir). Agora, se a análise estática fosse poderosa o suficiente para determinar o caso de parada, ela seria usada para responder a essa (e muitas outras perguntas), onde parar significaria a existência positiva de um número assim e não parar significaria que não existe esse número, mas infelizmente a análise estática não é tão poderoso.

— Mal
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Eu realmente não vejo o ponto nesta resposta. Só porque atualmente não sabemos se esse número existe não implica que não exista, nem que no futuro não poderíamos escrever um analisador estático capaz de decidir isso. Uma alternativa melhor é usar algum problema indecidível conhecido. Por exemplo, sabe-se que não existe um programa que possa resolver todas as equações diofantinas, e resolver essa equação é uma tarefa semelhante à mostrada na resposta.

— Bakuriu 13/09/16

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Bem, se o problema da parada fosse decidível, todo problema seria decidido se pudéssemos colocá-lo em uma forma em que perguntássemos se um programa parava ou não. Ou qualquer pergunta do formulário: existe um conjunto contável e posso decidir se algum elemento potencial individual está no conjunto ou não. O conjunto está vazio? As equações diofantinas têm um conjunto contável de possíveis soluções, e posso verificar se cada solução potencial individual é uma solução ou não. Se o problema da parada fosse decidível, as equações diofantinas seriam decidíveis.

— gnasher729

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@ gnasher729 Sim, e como eles não são o problema da parada, é indecidível. Esse é meu argumento. Embora a declaração nesta resposta não tenha nenhuma implicação real: "Considere esta definição matemática. Atualmente , não temos idéia se um programa que decide isso vai parar ou não, mas amanhã um cara poderá descobrir que isso ocorre ou não e essa resposta se torna 100". % sem significado".

— Bakuriu 13/09/16

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Não é este o caso semelhante a Como pode ser decidido se π possui alguma sequência de dígitos? , o problema de parada é indecidível em classes de problemas, não em problemas isolados .

— npostavs 13/09/16

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A prova clássica por diagonalização é uma máquina pura , não apenas uma máquina de Turing pura, mas também não depende de "problemas em aberto".

Por exemplo, uma máquina de Turing que executa a Conjectura de Collatz tem um status de interrupção desconhecido, mas que depende de nossa ignorância sobre a Conjectura de Collatz, um dia poderíamos provar que Collatz estava certo e então poderíamos decidir o status de parada da conjectura (Para algumas entradas, não para ou sempre pára).

Portanto, a Conjectura Collatz já pode responder à sua pergunta (pelo menos temporariamente), mas depende de algo que não sabemos . Em vez disso, a prova clássica é um problema resolvido: já sabemos que isso é indecidível .

— Desenvolvedor de jogos
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Apenas para constar, a prova padrão da indecidibilidade do problema de parada se baseia na mesma idéia que o quines: que é possível escrever um programa cujo subdomínio é avaliado segundo o código fonte de todo o programa. Então, se houvesse uma função haltsque, dado o código-fonte de um programa, retornasse True se esse programa interrompesse todas as entradas e False caso contrário, este seria um programa legal:

prog() = if halts "prog" then prog() else ()

onde "prog"haveria alguma expressão avaliada no código-fonte prog; no entanto, você pode ver rapidamente queprog para (para todas as entradas) se não parar, o que é uma contradição. Nada nesta prova depende de E / S de forma alguma (você precisa de E / S para escrever um quine?).

A propósito, você pode procurar em "E / S baseada em diálogo" para obter mais evidências de que a E / S é totalmente irrelevante para o seu problema (basicamente, programas que executam E / S podem ser reduzidos a programas que recebem entrada como argumentos funcionais (explícitos) e retornam a saída como resultados adicionais (explícitos) em uma linguagem lenta). Infelizmente, não consigo encontrar uma página razoável e sem preconceitos (ou pró-diálogo) na Web no momento.

— Jonathan Cast
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