A classificação parcial pode ajudar no custo de pesquisa em matrizes?

Procurar algo em uma lista não classificada é uma tarefa com complexidade de tempo $O(n)$. No entanto, se a lista estiver classificada, a complexidade do tempo será . Isso significa que às vezes vale a pena classificar uma matriz. No entanto, isso é uma troca, pois o algoritmo de classificação possui uma complexidade de tempo de .$O(\log(n))$$O(n\log(n))$

Tanto quanto eu sei, você não pode classificar uma matriz em menos de . No entanto, eu estou querendo saber se existe algum algoritmo que pode classificar parcialmente a matriz em menos tempo do que isso? Tenho certeza de que você não pode procurar um valor em uma matriz parcialmente classificada em , mas você pode fazer melhor que ?$O(n\log(n))$$O(\log(n))$$O(n)$

Em resumo, é possível processar uma matriz não classificada com um algoritmo mais rápido que modo que um algoritmo de pesquisa possa fazer uma pesquisa mais rápido que , embora não tão rápido quanto ?$O(n\log(n))$$O(n)$$O(\log(n))$

Se você executar o "Quicksort equilibrado" (usando a mediana exata em cada etapa) até a profundidade $k$ (ao custo de $O(n k)$), você obtém uma partição da matriz original em $2^k$ partes classificadas de $n/2^k$elementos não classificados cada. Dado um elemento, podemos localizar a parte correta no tempo$O(\log(2^k)) = O(k)$ usando a pesquisa binária e, em seguida, procure-a usando um $O(n/2^k)$, para uma complexidade total de $O(n/2^k + k)$.

E se $k = o(\log n)$ então a classificação parcial leva tempo $o(n\log n)$. E se$k = \omega(1)$ então o algoritmo de pesquisa leva tempo $o(n)$. Assim, se$1 \ll k \ll \log n$ Nós temos $o(n\log n)$ tempo de pré-processamento e $o(n)$tempo de pesquisa. Por exemplo, se$k = \log\log n$ então o pré-processamento leva $O(n\log\log n)$ e pesquisa leva $O(n/\log n)$.