A comprovação de DOUBLE-SAT é NP-complete

O conhecido problema SAT é definido aqui para fins de referência.

O problema DOUBLE-SAT é definido como

$\qquad \mathsf{DOUBLE\text{-}SAT} = \{\langle\phi\rangle \mid \phi \text{ has at least two satisfying assignments}\}$

Como provamos que é NP-completo?

Mais de uma maneira de provar será apreciada.

Aqui está uma solução:

Claramente, Double-SAT pertence a , uma vez que um NTM pode decidir Double-SAT da seguinte maneira: Em uma fórmula de entrada booleana ϕ ( x 1 , … , x n ) , adivinhe 2 de forma não-determinística e verifique se ambos satisfazem ϕ .${\sf NP}$$\phi(x_1,\ldots,x_n)$$\phi$

Para mostrar que a Double-SAT é -Complete, que dão uma redução de sab em Double-sab, como segue:${\sf NP}$

Na entrada :$\phi(x_1,\ldots,x_n)$

1. Introduzir uma nova variável .$y$
2. Fórmula de saída .$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y) = \phi(x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$

Se pertence a SAT, então ϕ tem pelo menos 1 tarefa satisfatória e, portanto, ϕ ' ( x 1 , … , x n , y ) possui pelo menos 2 tarefas satisfatórias, pois podemos satisfazer a nova cláusula ( y ∨ ˉ y ) atribuindo y = 1 ou y = 0 à nova variável y , então ϕ ′ ( $\phi (x_1,\ldots,x_n)$$\phi$$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y)$$y \vee \bar y$$y = 1$$y = 0$$y$$\phi'$ , ..., x n , y ) ∈ SAT duplo.$x_1$$x_n$$y$$\in$

Por outro lado, se , então claramente ϕ ′ ( x 1 , … , x n , y ) = ϕ ( x 1 , … , x n ) ∧ ( y ∨ ˉ y ) também não possui atribuição satisfatória, então ϕ ′ ( x 1 , … , $\phi(x_1,\ldots,x_n)\notin \text{SAT}$$\phi' (x_1,\ldots,x_n, y) = \phi (x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$ .$\phi'(x_1,\ldots,x_n,y) \notin \text{Double-SAT}$

Portanto, , e, portanto, duas vezes SAT é N P -Complete.$\text{SAT} \leq_p \text{Double-SAT}$${\sf NP}$

Você sabe que é NP-completo. Você pode encontrar uma redução de S A T para D O U B L E - S A T ? Ou seja, você pode manipular uma fórmula satisfatória para que o resultado tenha pelo menos duas atribuições satisfatórias? Observe que a mesma manipulação não pode tornar satisfatórias as fórmulas não confiáveis.$\mathsf{SAT}$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{DOUBLE\text{-}SAT}$

Para qualquer fórmula , a fórmula φ ∨ f ( φ ) tem, pelo menos, duas vezes o número de satisfazer assingments como φ , com f um homomorphism que renomeia todas as variáveis para novos nomes.$\varphi$$\varphi \lor f(\varphi)$$\varphi$$f$