Intuição por trás da condição | xy | ≤ p no lema de bombeamento para idiomas regulares

Quando olho para as provas de bombeamento do lema , sinto que muitas vezes sinto falta da intuição por trás da condição | xy | ≤ p.

Qual é exatamente o motivo por trás dessa condição? Toda a literatura que examinei é silenciosa (sem prova, sem discussão, apenas uma afirmação) sobre esse ponto, ou afirma que queremos que a primeira repetição ocorra não muito longe do início .

Mas quando há uma desigualdade envolvida, com símbolos e operadores muito precisos, não esperamos que haja uma prova clara de onde finalmente alcançamos essa condição?

O que eu estou procurando é,

1. Prova matemática para a condição, | xy | ≤ p.
2. Intuição por trás da mesma condição.

Para tornar as strings suficientemente longas, temos o tamanho da string de condição pelo menos p. Minha questão específica é por que é necessário que | xy | ≤ p? E o que isso quebra se | xy | ≤ p não é verdade?

( Qual é a razão da segunda condição do (s) lema (s) de bombeamento?) Não responde exatamente à minha pergunta. A pergunta talvez esteja correta, mas as respostas só dão alguns exemplos sem muita intuição.)

Não é necessário para a prova. Você pode provar o lema sem essa condição. Adicionar essa condição torna a declaração mais forte e mais útil.

A intuição aqui é que, se um DFA tiver estados e houver uma lista de deles, a lista deverá conter dois estados iguais. A cadeia é a parte que se estende desde o início da entrada até a primeira ocorrência do estado duplo, e a cadeia estende até a segunda ocorrência. Considerando a primeira repetição, podemos garantir que , pois depois de ler os caracteres , vimos estados.$p$$p+1$$x$$y$$|xy| \leq p$$p$$p+1$