Duplos de triangulação únicos de polígonos simples

Dada uma triangulação (sem pontos de Steiner) de um polígono simples , pode-se considerar o duplo dessa triangulação, que é definido da seguinte forma. Criamos um vértice para cada triângulo em nossa triangulação e conectamos dois vértices se os triângulos correspondentes compartilharem uma aresta. O gráfico duplo é conhecido por ser uma árvore com grau máximo de três. $P$

Para minha inscrição, estou interessado no seguinte. Dada uma árvore com o máximo grau três, há sempre um polígono simples tal que o dual de cada triangulação (sem pontos de Steiner) de é igual a . Aqui, a triangulação de pode não ser única, mas eu exijo que o gráfico duplo seja único. $T$ $P$ $P$ $T$ $P$

Isso certamente é verdade quando é um caminho, mas fica claro quando você tem vértices de grau três. $T$

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— Nizbel99
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O gráfico duplo não é necessariamente uma árvore. Considere esta forma de estrela , que, dependendo da sua definição de compartilhar uma aresta (total ou parcial), é um gráfico separado de 4 vértices ou um ciclo de 4.

— precisa saber é

Boa pegada! Esqueci de mencionar que não permito pontos de Steiner em minhas triangulações. Vou atualizar a pergunta.

— Nizbel99

Pergunta interessante, mas estou curioso sobre qual aplicativo isso pode ter. Você pode dizer?

— Lagarto discreto

Dada uma árvore com grau máximo três, sempre existe um polígono simples modo que o duplo de toda triangulação (sem pontos de Steiner) de seja igual a ? $T$ $P$ $P$ $T$

Sim. Para mostrar isso, darei um procedimento para obter o resultado aparentemente um pouco mais forte *:

Dada uma árvore com grau máximo três, construa um polígono simples , de modo que a triangulação única de (sem pontos de Steiner) tenha como seu duplo. $T$ $P$ $P$ $T$

Comece criando um triângulo inicial , representando algum vértice em e adicione à fila $\Delta_0$ $v_0$ $T$ $v_0$ . Em seguida, repita o seguinte até ficar vazio: $Q$ $Q$

Retire o elemento superior, , da fila. $v$
Para cada vértice vizinha que para os quais não têm colocado um triângulo ainda, escolher um lado de triângulo e um ponto no interior das regiões cónicas gerados pela linha através de e seus segmentos vizinhos, de tal modo que o triângulo não cruza nenhum outro triângulo. (Ver figura abaixo) Conjunto e adicionar para . $w$ $AB$ $\Delta_v$ $D$ $AB$ $\Delta ABD$ $\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$ $w$ $Q$

Esta imagem fornece um exemplo de um possível polígono (esquerda) para o dado (direita) $P$ $T$

$AB$ $AD$

$CD$ $P$ $Q \notin \{B,D\}$ $DQ$ $P$ $AD$ $BD$ $\Delta ABD$ $Q$ existe apenas se existir um ponto análogo para o triângulo colocado anteriormente. Como não existe esse ponto para o primeiro triângulo, isso significa que não existe um ponto para qualquer triângulo que adicionarmos.

$(X,Y)$ $P$ $XY$ $P$ $P$

Observe que os polígonos construídos neste método tendem a ter ângulos bastante agudos. Suspeito que grandes gráficos arbitrários exijam polígonos com pequenos ângulos arbitrários, o que pode ser um problema ao desenhar esses polígonos com precisão finita.

_{*: A diferença é que, se interpretarmos 'único' como isomorfismo (que é consistente com a singularidade de triangulações e duais serem diferentes), estaríamos bem com um polígono com múltiplas triangulações e todos com duais isomórficos. No entanto, é possível 'anexar' mais triângulos a esses polígonos para garantir que alguns duplos não sejam mais isomórficos.}

— Lagarto discreto
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