Linguagem dos valores de uma função afim

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Escreva para a expansão decimal de (sem avanço ). Deixe e ser inteiros, com . Considere o idioma das expansões decimais dos múltiplos de mais uma constante: $\bar n$ $n$ 0 $a$ $b$ $a > 0$ $a$

M = {\bar{a x + b} ∣ x \in N}

$M = \{ \overline{a\,x+b} \mid x\in\mathbb{N} \}$

é regular? sem contexto? $M$

(Contraste com o idioma do gráfico de uma função afim )

_{Eu acho que isso seria uma boa pergunta para a lição de casa; portanto, as respostas que começam com uma ou duas dicas e explicam não apenas como resolver a questão, mas também como decidir quais técnicas usar serão apreciadas.}

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
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Agora mesmo, percebo que respondi a um caso específico, seguindo a ideia de @vonbrand. DFA que aceita representações decimais de um número natural divisível por 43

— Hendrik Jan

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Muito simples: suponha que os números sejam escritos em decimal (outras bases são tratadas por uma modificação trivial). Construir um DFA, com estados 0, 1, ..., . O estado inicial é 0 e, do estado na entrada, o dígito passa para o estado . O estado de aceitação é (pode ser necessário um ajuste se ). $a$ $a - 1$ $q$ $d$ $(10 q + d) \bmod a$ $b \bmod a$ $b > a$

— vonbrand
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Muito bom - muito melhor que o meu!

— David Lewis

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Isso é regular. Vamos primeiro trabalhar em binário, que generalizará para qualquer base> 1. Seja o idioma em questão. Para a = 1, b = 0, obtemos $M_{a,b}$

$M_{1,0} = \{1, 10, 11, 100, 101, ...\}$

que é todas as strings acima de sem zeros à esquerda, o que é regular (construa uma expressão regular para ela). $\{0,1\}$

Agora, para qualquer , com b ainda 0, obtemos de multiplicando numericamente por a, ou seja, executando a transformação em cada sequência de . Isso pode ser feito bit a bit por uma sequência de turnos e adições de que dependem dos bits da cadeia fixa . As duas transformações que precisamos são: $a$ $M_{a,0}$ $M_{1,0}$ $\bar x \rightarrow \overline {ax}$ $M_{a,0}$ $x$ $\bar a$

$\bar x \rightarrow \overline {2x}$ que é $\bar x \rightarrow \bar x0$

e

$\bar x \rightarrow \overline {2x+x}$

Concatenar um 0 à direita preserva claramente a regularidade. Portanto, temos apenas que provar que a segunda operação preserva a regularidade. A maneira de fazer isso é com um transdutor de estado finito trabalhando em da direita para a esquerda. Esse é o passo mais difícil. Sugiro fazê-lo com um programa de pseudo-código e alguma memória auxiliar finita (como algumas variáveis de bit) em vez de usar estados. Contanto que a memória tenha um tamanho fixo em todas as entradas e você digitalize estritamente da direita para a esquerda, é uma transdução de estado finito e preserva a regularidade. $\bar x$

Finalmente, para obter de , precisamos adicionar numericamente a cada string, mas isso é feito com um transdutor semelhante que depende do número fixo b. $M_{a,b}$ $M_{a,0}$ $b$ $T_b$

Para fazer o mesmo em qualquer base, mostre adicionalmente como realizar a multiplicação com um único dígito nessa base, usando um transdutor que depende de d. Com isso, podemos multiplicar por números de vários dígitos e ainda permanecer nos idiomas regulares. Ou, podemos refiná-lo dizendo que a multiplicação por é apenas uma adição repetida. $d$ $S_d$ $d$

Você queria apenas dicas. Cada uma dessas etapas depende de um teorema / técnica bastante complexo, portanto, provar que essas provas são completas será o trabalho extra.

— David Lewis
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Seu FA não recebe como entrada, portanto não vejo como o que você escreve mostra que o idioma atual é regular. Observe que nem todo programa que utiliza memória finita corresponde a FA: é importante que possa passar apenas uma vez e da esquerda para a direita sobre a entrada, considerando todos os símbolos de entrada exatamente uma vez.

\bar{x}

$\bar{x}$

— Raphael

@ Rafael Você pode ir da direita para a esquerda, se quiser, o que importa é ser consistente. Não consigo encontrar uma falha no esboço de prova de David; invocar transdutores é um pouco menos elementar do que eu imaginava, mas parece válido.

— Gilles 'SO- stop be evil'

@Gilles: Primeiro de tudo, ele não explica como a multiplicação intercalam por e adicionando de ao resultado em uma passagem ; ele até reduz a multiplicação de para "uma sequência de turnos e adições de ". Cada turno e adição é bom, mas como fazer a sequência? Em segundo lugar, e mais importante, ele mostra como construir um transdutor que calcula ; isso não imediatamente dar-lhe um FA que aceita . Por exemplo, multiplicar números é fácil, mas fatorar (supostamente) não é. Então você precisa de pelo menos um argumento adicional.

a

$a$

b

$b$

a

$a$

x

$x$

\bar{x} \mapsto \bar{a x + b}

$\bar{x} \mapsto \overline{ax + b}$

M

$M$

— Rafael

Não estou construindo uma FSA. Estou começando com um conjunto facilmente mostrado como regular ( ) e depois transformando todas as strings nele com uma série finita de operações, cada uma das quais preserva a regularidade. Isso requer um número de passes (transdutores). Mas tudo bem, pois a sequência de transdutores e a estrutura de cada um são previamente fixadas com base apenas em e . Cada passagem (transdutor) preserva a regularidade, portanto, não há necessidade de intercalá-las em uma passagem. Sim, não "elementar". Mas construir um FSA de uma só vez, com um passe, seria muito complexo.

M_{1, 0}

$M_{1,0}$

a

$a$

b

$b$

— David Lewis

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@ Rafael - sim, isso é muito poderoso. De fato, muitas famílias não regulares também são fechadas sob transdutores de estado finito. E você pode usar transdutores como mecanismos de redução, obtendo toda uma teoria da complexidade "estrutural" de linguagens não regulares.

— David Lewis

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Dica 1 : primeiro resolva o problema mais popular "escreva um autômato que reconheça as representações decimais / binárias dos números divisíveis por 3" quando o bit menos significativo aparecer primeiro.

Pergunta intermediária: prove que é regular. $\{ \overline{a\,x+b}\mid a\,x+b≥0 \quad x\in\mathbb{Z}\}$

Dica 2 : O gráfico da função "módulo " é finito. Você pode calculá-lo para cada em que é o conjunto de dígitos e o idioma do seu autômato. $(n \mapsto 10n+d)$ $a$ $d$ $\{0, \dots, 9\}$

Dica # 3 : agora, substitua com . O que isso muda? Tente usar o fato de que linguagens regulares são estáveis por interseção em vez de criar um autômato ad-hoc . $x∈\mathbb Z$ $x∈\mathbb N$

Dica # 4 : agora supor que é um número primo (de modo que é um campo) e que ainda estamos no caso em que . Agora usamos uma representação em que o primeiro bit é o bit mais significativo . Você pode construir o autômato da mesma maneira? $a$ $\mathbb Z/a\mathbb Z$ $x∈\mathbb Z$

Dica 5 : você nem sempre precisa criar um autômato para provar que uma linguagem é regular. Como você pode usar os resultados anteriores para provar que é regular? (com o bit mais significativo primeiro) $M$

— jmad
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Fique à vontade para comentar se achar que isso não é apropriado.

— Jmad

Dica # 1 é um grande passo. Na dica 4, é importante perceber que e são diferentes. Passar por parece um desvio, você precisa gerenciar o caractere de sinal: por que não permanecer em ?

a \in {2, 5}

$a\in\{2,5\}$

a ⊥ 10

$a\bot10$

Z

$\mathbb{Z}$

N

$\mathbb{N}$

— Gilles 'SO- stop be evil'

@ Gilles: Eu queria dizer quando e , porque é tedioso para reconhecer.

\bar{a x + b}

$\overline{ax+b}$

a x + b \geq 0

$ax+b≥0$

x \in Z

$x∈\mathbb Z$

3 x + 1234

$3x+1234$

— Jmad

@ Gilles: Eu acho que a dica 1 é muito legal para ser estragada. Você provavelmente está certo sobre a dica 4.

— Jmad

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Estou seguindo a ideia de @vonbrand:

Dica 1:

Resolva primeiro para . Você pode usar o teorema de Myhill-Nerode . $b=0$

Definimos a seguinte relação . Esta é obviamente uma relação de equivalência. Além disso, é congruente à direita, pois, se anexarmos um dígito , obteremos . Finalmente, satura , pois é a classe de equivalência . Como possui um número finito de classes, temos pelo Teorema de Myhill-Nerode que ele é regular. A FSA associada é mínima e tem estados. $\bar x\approx \bar y :\iff x\equiv y \mod a$ $d$ $\bar x \approx \bar y \iff 10x+d \equiv 10y+d \mod a \iff \bar x d \approx \bar y d$ $L$ $L$ $[0]$ $\approx$ $a$

Dica 2:

Resolva o caso geral, reutilize o autômato induzido pelo caso . $b=0$

Sabemos que o idioma é regular para . Assim simplesmente tomar a estado FSA para o idioma. Agora vamos construir uma FSA para . Suponha que tenha dígitos. Em seguida, o FSA se ramifica como uma árvore com 10 anos de profundidade e contém todos os caminhos para números com dígitos. Todos os estados que podem ser alcançados com um número que não está no formato estão rejeitando a aceitação. Finalmente, conectamos a parte da árvore da FSA ao autômato , de acordo com o restante da divisão por . $b=0$ $a$ $M$ $b=0$ $L$ $b$ $k$ $k$ $k$ $ax+b$ $M$ $a$

— A.Schulz
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Eu entendo a técnica, mas não os detalhes. A Dica 1 também não está abordando o caso ? Além disso, para o mod 10 eu esperaria 10 estados (não )?

a = 1

$a=1$

a

$a$

— Jan Hendrik

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O idioma é regular.

Dica: expulse nove

Ideia de prova

Para e , $a=9$ $b < 9$

crie um autômato com estados rotulados de a . é o estado inicial e o único estado final é . Do estado , no dígito , faça a transição para o estado . $9$ $0$ $8$ $0$ $b$ $s$ $d$ $(s + d) \;\mathrm{mod}\; 9$

Para manipular outros valores de que são coprime com , $a$ $10$

agrupe dígitos em pacotes para encontrar algum tal que divida (por exemplo, pegue se porque ). $k$ $a$ $10^k-1$ $k=3$ $a=37$ $999 = 27 \times 37$

Para manipular valores de cujos únicos fatores primos são e , $a$ $2$ $5$

observe que se trata de um número finito de dígitos no final.

Para generalizar para todos os valores de e , $a$ $b$

use o fato de que a união e a interseção de idiomas regulares são regulares, que idiomas finitos são regulares e que os múltiplos de são exatamente os múltiplos de ambos quando e são coprimes. $a_1 \cdot a_2$ $a_1$ $a_2$

Observe que usamos a técnica que for mais conveniente; as três principais técnicas elementares (expressões regulares, autômatos finitos, propriedades da teoria dos conjuntos) estão representadas nesta prova.

Prova detalhada

Seja com coprime com . Seja e . Por aritmética elementar, os números iguais a módulo são exatamente os números iguais a módulo e módulo , então . Como a interseção de idiomas regulares é regular e $a = 2^p 5^q a'$ $a'$ $10$ $M' = \{\overline{a'\,x+b} \mid x\in\mathbb{Z} \wedge a'\,x+b \ge 0\}$ $M'' = \{\overline{2^p 5^q\,x+b} \mid x\in\mathbb{Z} \wedge 2^p 5^q\,x+b \ge 0\}$ $b$ $a$ $b$ $a'$ $b$ $2^p5^q$ $M \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\} = M' \cap M'' \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\}$ $\{\overline{x} \mid x \ge b\}$ é regular porque é o complemento de uma linguagem finita (portanto regular), se e também são regulares, então é regular; e é, portanto, regular, pois é a união dessa linguagem com um conjunto finito. Portanto, para concluir a prova, basta provar que e são regulares. $M'$ $M''$ $M \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\}$ $M$ $M'$ $M''$

Vamos começar com , ou seja, números módulo . Os números inteiros cuja expansão decimal está em são caracterizados por seus últimos dígitos , pois alterar os dígitos à esquerda significa adicionar um múltiplo de que é um múltiplo de . Portanto, onde é o alfabeto de todos os dígitos e é um conjunto finito de palavras de comprimento e é um idioma comum. $M''$ $2^p 5^q$ $M''$ $\mathrm{max}(p,q)$ $10^{\mathrm{max}(p,q)}$ $2^p 5^q$ $0^* M'' = \aleph^* F$ $\aleph$ $F$ $\mathrm{max}(p,q)$ $M'' = (\aleph^* F) \cap ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$

Passamos agora para , ou seja, números módulo onde é coprime com . Se então é o conjunto de expansões decimais de todos os naturais, ou seja, , que é um linguagem regular. Agora assumimos . Seja . Pelo pequeno teorema de Fermat, , ou seja, a divide . Construímos um autômato finito determinístico que reconhecerá seguinte maneira: $M'$ $a'$ $a'$ $10$ $a' = 1$ $M'$ $M' = \{0\} \cup ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$ $a' > 1$ $k = a'-1$ $10^{a'-1} \equiv 1 \mod a'$ $a'$ $10^k-1$ $0^* M'$

Os estados são . A primeira parte representa uma posição de dígito e a segunda parte representa um módulo numérico . $[0,k-1] \times [0,10^k-2]$ $10^k-1$
O estado inicial é . $(0,0)$
Existe uma transição rotulada de para se s e . $d$ $(i,u)$ $(j,v)$ $v \equiv d 10^i + u \mod 10^k-1$ $j \equiv i + 1 \mod k$
Um estado é final se (observe que divide ). $(i,u)$ $u \equiv b \mod a'$ $a'$ $10^k-1$

O estado alcançado a partir de uma palavra satisfaz e . Isso pode ser provado por indução sobre a palavra, após as transições no autômato; as transições são calculadas para isso, usando o fato de que . Assim, o autômato reconhece as expansões decimais (permitindo zeros iniciais) dos números da forma com ; Como , o autômato reconhece as expansões decimais dos números iguais a módulo permitindo zeros iniciais, o que é $(i,u)$ $\overline{x}$ $i \equiv |\overline{x}| \mod k$ $u \equiv x \mod 10^k-1$ $10^k \equiv 1 \mod 10^k-1$ $u + y 10^k$ $u \equiv b \mod a'$ $10^k \equiv 1 \mod a'$ $b$ $a'$ $0^* M'$ . Esta linguagem é assim provada regular. Finalmente, é uma linguagem comum. $M' = (0^* M') \cap ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$

Para generalizar para bases diferentes de , substitua e acima por todos os fatores primos da base. $10$ $2$ $5$

Prova formal

Deixado como um exercício para o leitor, no seu provador de teoremas favorito.

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
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