Comprovando a regularidade de um determinado idioma

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Eu estive mexendo com esse problema durante a última hora e estou incrivelmente perplexo.

Seja . Mostre que é regular. $A = \{\; 0^ku0^k \mid k ≥ 1 \text{ and }u ∈ Σ^*\;\}$ $A$

Obviamente, a linguagem satisfaz o lema de bombeamento, mas isso não é conclusivo para a regularidade. Como diabos eu provo que esse idioma é regular? Estou ciente de todos os métodos normais (fechado), mas não consigo descobrir a condição apropriada para continuar.

formal-languages regular-languages

— Dave
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É uma pergunta complicada. Você pode encontrar uma forma mais simples para descrever o idioma.

— Hendrik Jan
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... e sim, conheço a solução, mas achei que seria mais útil dar uma cutucada na direção certa, em vez de anotá-la na íntegra. Apenas minha ideia.

— Hendrik Jan

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O idioma pode ser reescrito como . $A=\{0u0 \mid u\in \Sigma^*\}$

A idéia básica é que não importa qual seja o valor de , tudo será "absorvido" em que é a linguagem completa . $k$ $u$ $\Sigma^*$

— Ayush Agarwal
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mas como 'u' é a linguagem completa, não poderia ser também a string vazia? quais serão as implicações se 'u' for a string vazia?

— Shubham Singh raw5 /

@ShubhamSinghrawat Sim, mas isso não tem implicações. Lembre-se de que um idioma é regular se existir um DFA que o reconheça. considerar a palavra . Esta resposta está lhe dizendo que, em vez de vê-la dessa maneira, você pode vê-la como a palavra com e você pode ver que isso corresponde à definição das palavras em , mas também à definição desta resposta. No final, o DFA para A é simplesmente: verifique se a primeira letra é e se a última letra é , tudo o resto não importa.

w = 0^{3} ϵ 0^{3} \in A

$w=0^3 \epsilon 0^3 \in A$

w = 0^{1} u 0^{1}

$w = 0^1 u 0^1$

u = 0^{2} 0^{2} \in Σ^{*}

$u = 0^20^2 \in \Sigma^*$

A

$A$

0

$0$

0

$0$

— Bakuriu 5/10

Se isso não foi suficientemente claro, um NFA que reconhece é apenas com e e, na verdade, esse é quase um DFA, exceto que não é total ...

A

$A$

N = (Q, Σ, Δ, q_{0}, {q_{2}})

$N = (Q, \Sigma, \Delta, q_0, \{q_2\})$

Q = {q_{0}, q_{1}, q_{2}}

$Q = \{q_0, q_1, q_2\}$

Δ = {(q_{0}, 0, q_{1}), (q_{1}, 0, q_{2}), (q_{2}, 0, q_{2})} \cup {(q_{1}, x, q_{1}) ∣ x \in Σ ∖ {0}} \cup {(q_{2}, x, q_{1}) ∣ x \in Σ ∖ {0}}

$\Delta = \{(q_0, 0, q_1), (q_1, 0, q_2), (q_2, 0, q_2)\} \cup \{(q_1, x, q_1) \mid x \in \Sigma \setminus \{0\}\} \cup \{(q_2, x, q_1) \mid x \in \Sigma \setminus \{0\}\}$

— Bakuriu

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Se fosse esse idioma:

$B = \{\; 0^k1u10^k \mid k ≥ 1 \text{ and }u ∈ Σ^*\;\}$

você estaria com problemas. não é regular. $B$

O problema fundamental é que ao tentar reconhecer cordas de , é preciso "lembrar" uma quantidade ilimitada de informação da seqüência inicial de s (quantos foram), porque você precisa distinguir entre as cordas como e outros como (onde ). Expressões regulares (ou DFAs) não conseguem expressar esse tipo de "memória ilimitada". $B$ $0$ $0^k1...10^k$ $0^k1...10^j$ $j≠k$

$A$ aparência , como ele tem o mesmo problema, mas na verdade não há necessidade de dizer aos "equilibradas" e "desequilibrado" casos separados. Para qualquer sequência (se e são iguais, mas ambos são pelo menos 1), você também pode escrevê-la como , em que . Tal seqüência também atende a regra para cordas 's (escolhendo e ), e por isso não realmente importa que os esquerda e à direita s foram equilibrados, afinal. $0^ku0^j$ $j$ $k$ $0v0$ $v=0^{k-1}u0^{j-1}$ $A$ $k=1$ $u=v$ $0$

— Ben
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