Reduzindo o fluxo máximo para a correspondência bipartida?

Há uma redução famosa e elegante do problema de correspondência bipartida máxima para o problema de fluxo máximo: criamos uma rede com um nó de origem , um nó terminal e um nó para cada item a ser correspondido e, em seguida, adicionamos arestas apropriadas. $s$ $t$

Certamente, existe uma maneira de reduzir o fluxo máximo para a correspondência bipartida máxima em tempo polinomial, pois ambos podem ser resolvidos individualmente em tempo polinomial. No entanto, existe uma redução "agradável" do tempo polinomial do fluxo máximo (em gráficos gerais) para a correspondência bipartida máxima?

reductions network-flow bipartite-matching

— templatetypedef
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Você está perguntando sobre o fluxo de rede em um gráfico bipartido ou em gráficos gerais?

— DW

Eu estava pensando sobre o fluxo máximo em gráficos gerais.

— Templatetypedef

As reduções no tempo poli dentro de P são entediantes: basta resolver a instância e escolher uma das duas instâncias codificadas. Eu sei que não é isso que você deseja, mas você pode especificar com mais precisão o que é isso?

— Raphael

@Raphael O último parágrafo da minha pergunta aludiu ao que você mencionou, já que sim, há claramente uma redução desinteressante nos moldes do que você disse. Estou procurando uma redução que esteja mais de acordo com a redução da correspondência para o fluxo máximo - uma transformação estrutural que preserva as características essenciais. Pense em algo semelhante ao das reduções feitas para provar a dureza NP, em vez da redução trivial de "resolver o problema e gerar uma instância".

— Templatetypedef

As reduções de gadgets normalmente não são de tempo linear? É isso que eu quero dizer: tente encontrar uma classe mais restrita que nos impeça de "trapacear". (Não está claro o que "preserva as características essenciais" deve significar.)

— Raphael

Respostas:

Curiosamente, nenhuma redução é conhecida. No entanto, em um artigo recente, Madry (FOCS 2013), mostrou como reduzir o fluxo máximo em gráficos de capacidade unitária para (logaritmicamente muitas instâncias de) correspondência máxima em gráficos bipartidos. $b$

Caso você não esteja familiarizado com o problema de correspondência máxima , esta é uma generalização da correspondência, definida da seguinte forma: a entrada é um gráfico (no nosso caso, um gráfico bipartido), e um conjunto de demandas integrais para cada vértice, com a demanda do vértice denotada por . O objetivo é encontrar o maior conjunto possível de arestas modo que nenhum vértice tenha mais do que arestas no incidente em . É um exercício simples generalizar a redução da correspondência bipartida para fluxos máximos e mostrar uma redução semelhante da bipartida $b$ $G=(V,E)$ $v$ $b_v$ $S$ $v$ $b_v$ $S$ $v$ $b$ -comparando com fluxos máximos. (Uma das) o surpreendente resultado (s) de papel de Madry é que, em algum sentido estes problemas são equivalentes, dando uma redução simples que reduz o fluxo máxima em gráficos unidade de capacidade (em geral, os gráficos onde a soma das capacidades, é linear no número de arestas, ) a um problema de correspondência em um gráfico com nós , vértices e soma de demandas. $|u|_1$ $m$ $b$ $O(m)$

$b$ $u_e$ $e$

— dwajc
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-2

Então, aqui está uma tentativa de responder à sua pergunta:

$p\in P$ $q \in Q$ $p\in P$ $q\in Q$ $G_{∗}$ $\infty$ $e \in E$ $f_{x}$ $G_{∗}$ $f_{x}$ $pq \in M$ $G_{∗}$ $\cup (Q \cap R)$ $|Q \cap R|$

Quero dizer, isso é tudo na minha opinião que você perguntou na pergunta e esta é minha resposta potencial :).

— marcincuber
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Observe que você pode usar o LaTeX aqui para digitar matemática de uma maneira mais legível. Veja aqui uma breve introdução.

— DW

Você pode esclarecer como isso responde à pergunta? Você está construindo um algoritmo para resolver o problema de fluxo máximo em gráficos gerais, usando um algoritmo para a correspondência bipartida máxima? Se sim, qual é o algoritmo? Parece que tudo o que você está fazendo é mostrar como resolver o problema de fluxo máximo para o caso especial de gráficos bipartidos no caso especial em que todas as capacidades são 1 . Mas é claro que esse problema é trivialmente equivalente à correspondência máxima, como a pergunta já explica, então não estou vendo como isso adiciona algo novo. Também não vejo como o teorema de Konig ou as coberturas de vértices são relevantes.

— DW

A redução neste caso é a chave para responder ao conjunto de perguntas. E acredito nisso exatamente no que o @templatetypedef está procurando. Não acredito que a redução do tempo polinomial do fluxo máximo (em gráficos gerais) seja diferente. Vou pensar novamente e talvez acrescentar algo extra, mas mal consigo entender por que precisaríamos de instâncias diferentes para ter uma redução mais geral. Mas pontos justos.

— Marcincuber 12/10

Esta é a redução padrão de livros didáticos, da correspondência bipartida ao fluxo máximo. A questão está pedindo uma redução na direção oposta: do fluxo máximo à correspondência bipartida.

— 29417 JeffE