St corte mínimo em gráficos acíclicos direcionados ponderados com pesos possivelmente negativos

Encontrei o seguinte problema:

Dado um gráfico acíclico direcionado com pesos de borda com valor real e dois vértices s e t, calcule o corte mínimo.

Para gráficos gerais, isso é difícil para NP, já que é possível reduzir trivialmente o corte máximo simplesmente revertendo os pesos das arestas (me corrija se eu estiver errado).

Qual é a situação com os DAGs? O min-cut (ou max-cut) pode ser resolvido em tempo polinomial? É NP-difícil e, em caso afirmativo, existem algoritmos de aproximação conhecidos?

Tentei encontrar trabalho sobre isso, mas não consegui (talvez esteja apenas usando palavras-chave erradas em minhas pesquisas), então esperava que alguém soubesse (ou encontrasse) algo sobre isso.

— George
fonte

Onde a formulação de min-cut de programação linear falha aqui?

— Peter Shor

(usando a notação de en.wikipedia.org/wiki/… ): Para arestas com pesos negativos, d_ {ij} pode ser arbitrariamente grande. Mesmo que se limite d_ {ij} a partir de cima, sempre será utilizado o valor máximo possível para arestas com pesos negativos. Portanto, a solução para esse programa nem sempre produz um corte válido. Posso estar errado, pois não tenho muita experiência com esses problemas; se assim for, me corrija. Basicamente, gostaria de saber se o corte máximo (com pesos arbitrários) pode ser resolvido com eficiência para DAGs ou não.

— 5134 George

Para fazer isso funcionar, você deve alterar a primeira desigualdade para uma igualdade:

. Ainda não vejo por que falha, mas talvez esteja perdendo alguma coisa. Não pensei muito nisso.

d_{i j} = p_{j} - p_{i}

$d_{ij} = p_j - p_i$

— Peter Shor

Provavelmente sou eu quem está perdendo alguma coisa aqui. Isso garante que todos os

tenham valores integrais? Pode-se ligar

de cima com 1, mas não tenho certeza se isso funciona ou não. O problema parece ser que, se isso puder ser resolvido, é possível reduzir o corte máximo revertendo os pesos das bordas, o que não deve ser possível, pois o corte máximo é difícil para o NP. No entanto, eu posso estar errado aqui.

p_{i}

$p_i$

p_{i}

$p_i$

— 5134 George

O NP de corte máximo é duro para DAGs? Se o gráfico não for um DAG, não será possível alterar essa desigualdade para uma igualdade, porque você precisará da desigualdade se houver ciclos. Portanto, no caso geral, o LP não funciona com pesos negativos.

— Peter Shor

Você refinou o seu problema um pouco mais nos comentários. Para ser mais específico, você tem um DAG com todas as arestas que flui para longe da fonte e para a pia (isto é, todas as bordas estão em um caminho de para ). Você deseja encontrar o corte mínimo entre duas peças do DAG, onde a primeira peça está conectada a e a segunda conectada a . Para esse problema, uma variação do algoritmo de programação linear padrão para MIN-CUT funciona, mesmo com pesos de borda negativos. $s$ $t$ $s$ $t$ $s$ $t$

Usamos a mesma notação que na Wikipedia . O custo da aresta é . Colocamos uma função potencial em cada nó e deixamos . O LP é $(i,j)$ $c_{ij}$ $p_i$ $d_{ij} = p_i - p_j$

\begin{aligned} m Eu n Eu m Eu z e & \sum_{(Eu, j) \in E} c_{Eu j} d_{Eu j} \\ s você b j e c t t o & d_{Eu j} = p_{Eu} - p_{j} \forall (Eu, j) \in E \\ d_{Eu j} \geq 0 0 \forall (Eu, j) \in E \\ p_{s} = 1 1 \\ p_{t} = 0 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{minimize\ } & \sum_{(i,j) \in E} c_{ij} d_{ij} \\ \mathrm{subject\ to\ } & \ \ \ d_{ij} = p_i - p_j \ \ \forall (i,j) \in E \\ &\ \ \ d_{ij} \geq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \forall (i,j) \in E \\ & \ \ \ p_s\, = 1 \\ & \ \ \ p_t \, = 0 \end{align*}$

Essas equações garantem que , pois todo vértice está em algum caminho - . Da mesma forma, como não é negativo, os potenciais em qualquer caminho de a estão diminuindo. Nós ainda precisa mostrar que não é uma solução óptima para o LP com todos seja ou . Isso decorre do fato de que o valor para uma solução do LP acima é o valor esperado do corte , onde $0 \leq p_i \leq 1$ $s$ $t$ $d_{ij} = p_i - p_j$ $s$ $t$ $p_i$ $0$ $1$ $C_w$ é escolhido aleatoriamente em , e onde corte $w$ $[0,1]$ $C_w$ é obtido colocando todos os vértices com no primeiro conjunto de vértices e todos os vértices com $i$ $p_i\geq w$ no segundo conjunto. $p_i < w$

— Peter Shor
fonte

Obrigado pela sua excelente resposta, Peter. Não era óbvio à primeira vista que

, mas acho que entendi. No entanto, tenho alguns problemas para entender o argumento sobre a solução integral.

0 \leq p_{i} l e q 1

$0 \leq p_i leq 1$

— George

@ George: é o mesmo argumento que mostra que o LP Min-Cut regular tem soluções integrais. Deve haver uma explicação mais longa (e mais compreensível) em algum lugar online.

— Peter Shor

Ok, vou procurá-lo. Muito obrigado novamente por sua ajuda!

— George