Como medir a complexidade do problema do logaritmo discreto?

As respostas a essa pergunta no Crypto Stack Exchange basicamente dizem que, para medir a complexidade do problema do logaritmo, precisamos levar em consideração o tamanho do número que representa o tamanho do grupo. Parece arbitrário, por que não escolhemos o tamanho do grupo como argumento? Existe um critério para saber qual argumento escolher? Na verdade, eu sei que negligenciei algo importante, pois a complexidade muda enormemente se o fizermos pelo tamanho do grupo.

Não importa se você escolhe o tamanho do grupo ou o tamanho do número inteiro que representa n como parâmetro, já que n ≈ $|G|$$n$. Há duas razões pelas quais geralmente a complexidade é descrita em termos de n em vez de | G | :$n \approx \log |G|$$n$$|G|$

1. é o comprimento da entrada (mais precisamente, a entrada possui comprimento Θ ( n ) ), e geralmente medimos a complexidade dos algoritmos em função do comprimento da entrada.$n$$\Theta(n)$

2. Geralmente é um número pequeno, como 1024 , enquanto$n$$1024$é um número enorme, como (aproximadamente) 2 1024 .$|G|$$2^{1024}$