Dados 2 conjuntos de n pontos: minimize a soma das distâncias percorridas

Me deram dois conjuntos $S, T$ cada um $n$ pontos em , quero encontrar uma bijeção , de modo que seja minimizado, com sendo o euclidiano distância. $\mathbb{R}^k$ $a : S \rightarrow T$

\sum_{s \in S} d (s, a (s))

$\sum_{s \in S} d(s, a(s))$

d

$d$

Estou ciente de que esse problema de transporte é um caso especial do problema de distância do movedor de terra, mas, como não é ponderado (e ultrapassa pontos), fico imaginando se existe um algoritmo mais eficiente do que o método húngaro de tempo cúbico para ele.

— user695652
fonte

Para

d = 1

$d=1$ existe um algoritmo fácil e ganancioso com

O (n \log n)

$O(n \log n)$ tempo de execução. Talvez valha a pena pensar em

d = 2

$d=2$ como o caso mais simples e interessante (não trivial).

— DW

Eu duvido. Eu estava lendo um artigo de 2014 que precisava resolver exatamente isso como um subproblema, e eles usaram o

O (n^{3})

$O(n^3)$ Algoritmo húngaro.

— Jrandom_hacker 26/10/16

Como um caso muito especial: se

d = 2

$d=2$ você pode construir o casco convexo no conjunto de todos

2 n

$2n$ pontos em

O (n \log n)

$O(n\log n)$ tempo e, em seguida, calcule a distância total para cada um dos 2 caminhos alternativos possíveis de arestas ao redor do casco. Se acontecer que o menor deles é uma solução válida, deve ser o ideal. (Obviamente este é um requisito ainda mais forte do que os pontos devem todos deitar no casco convexo, que já é uma condição muito forte ...)

— j_random_hacker

Você pode alterá-lo para

R^{k}

$\mathbb{R}^k$ ou algo desde que você está usando

d

$d$ para a métrica

— MCT

Conforme mencionado na declaração do problema, este é o Problema de Atribuição (correspondência bipartida de peso mínimo), onde é sabido que os pesos são as distâncias euclidianas.

Houve várias melhorias desde o algoritmo húngaro, pelo menos em termos de limites assintóticos. Dependendo do tamanho exato do gráfico, qualquer um dos vários algoritmos pode ser o melhor. Uma tabela no artigo de Cohen et al dá detalhes. O algoritmo de Edmonds e Karp é $O(nm + n^2 log n)$ , e ainda é o melhor limite que não depende do peso máximo no gráfico. O algoritmo de Cohen parece ser o melhor para gráficos esparsos, o que não é a sua situação. Eu acho que o melhor para o seu gráfico denso seria o de Sankowski $\tilde{O} (W n^\omega)$ , já que não depende de $m$ .

Não sei se existem maneiras de explorar a estrutura de peso específica deste problema (distâncias euclidianas) para melhorias adicionais.

Fontes:

Caminhos mais curtos de peso negativo e capacidade da unidade Fluxo de custo mínimo em $\tilde{O}(m^{(10/7)} log W)$ Tempo. Michael B. Cohen, Aleksander Madry, Piotr Sankowski, Adrian Vladu
https://arxiv.org/abs/1605.01717v3 (pré-impressão)

J. Edmonds e RM Karp. Melhorias teóricas na eficiência algorítmica para problemas de fluxo de rede. J. ACM, 19 (2): 248-264, 1972.

Piotr Sankowski. Autômatos, Idiomas e Programação: 33º Colóquio Internacional, ICALP 2006, Veneza, Itália, 10 a 14 de julho de 2006, Anais, Parte I, capítulo Correspondência Bipartida Ponderada no Tempo de Multiplicação de Matrizes, páginas 274–285. Springer Berlin Heidelberg, Berlim, Heidelberg, 2006.
http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F11786986_25

— tjhighley
fonte