Reduza o seguinte problema para SAT

Aqui está o problema. Dado , em que cada . Existe um subconjunto com tamanho máximo de tal que para todos os ? Estou tentando reduzir esse problema para o SAT. Minha idéia de uma solução seria ter uma variável para cada um de 1 a . Para cada , crie uma cláusula se . Então e todas essas cláusulas juntas. Mas isso claramente não é uma solução completa, pois não representa a restrição de que$k, n, T_1, \ldots, T_m$S ⊆ { 1 , ... , n } k S ∩ t i ≠ ∅ i x i n t i ( x i 1 ∨ ⋯ $T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$$S \subseteq \{1, \ldots, n\}$$k$$S \cap T_i \neq \emptyset$$i$$x_i$$n$$T_i$T i = { i 1 , ... , i k$(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$$T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$$S$deve ter no máximo elementos. Eu sei que preciso criar mais variáveis, mas simplesmente não sei como. Então, eu tenho duas perguntas:$k$

1. A minha ideia de solução está no caminho certo?
2. Como as novas variáveis ​​devem ser criadas para que possam ser usadas para representar a restrição de cardinalidade ?$k$

Parece que você está tentando calcular um hipergrafo transversal do tamanho . Ou seja, é seu hipergrafo e é sua transversal. Uma tradução padrão é expressar as cláusulas como você possui e depois converter a restrição de comprimento em uma restrição de cardinalidade.$k$$\{T_1,\dots,T_m\}$$S$

Portanto, use sua codificação existente, ou seja, e adicione cláusulas que codificam .$\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$ é uma restrição de cardinalidade. Existem várias traduções diferentes de restrições de cardinalidade no SAT.

A conversão de restrição de cardinalidade mais simples, porém bastante grande, é apenas . Dessa forma, cada disjunção representa a restrição - para todos os subconjuntos de do tamanho k + 1. Ou seja, garantimos que não há como definir mais de k variáveis. Observe que esse não é o tamanho polinomial em ¬ ⋀ i ∈ X X i X { 1 , ... , n } k$\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$$\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$$X$$\{1,\dots,n\}$$k$

Alguns links para artigos sobre traduções de restrições de cardinalidade com maior eficiência de espaço e tamanho polinomial em $k$ :

• Traduzindo Restrições Pseudo-Booleanas para o SAT - Niklas Eén e Niklas Sörensson, JSAT vol 2 (2006), páginas 1-26 (uma boa pesquisa).
• Codificação CNF eficiente de restrições de cardinalidade booleana - Olivier Bailleux e Yacine Boufkhad, Procedimentos de princípios e práticas de programação de restrições 2003, LNCS vol 2833, pg 108-122 (uma tradução agradável e bastante fácil de implementar).
• Rumo a uma codificação ótima de restrições de cardinalidade booleana por CNF - Carsten Sinz - Procedimentos de princípios e práticas de programação de restrições 2005, LNCS 3709, pág. 827-831.
• Para codificações robustas de restrições de cardinalidade no CNF - João Marques-Silva e Inês Lynce, Procedimentos de princípios e práticas de programação de restrições 2007, LNCS 4741, pág. 483-497.

Se você está realmente interessado em resolver esses problemas, talvez seja melhor formulá-los como problemas pseudo-booleanos (consulte o artigo da wiki sobre problemas pseudo-booleanos ) e use solucionadores pseudo-booleanos (consulte competição pseudo-booleana ). Dessa forma, as restrições de cardinalidade são apenas restrições pseudo-booleanas e fazem parte da linguagem - espero que o solucionador pseudo-booleano as manipule diretamente e, portanto, com mais eficiência.

$k$

$\Gamma_{2,1}^{+}$$\Gamma_{2,1}^{+}$

Suponho que você esteja procurando uma redução explícita, mas, se não, pode sempre voltar ao Teorema de Cook-Levin .