O Papai Noel pode ser justo e eficiente?

Como estabelece a rede sempre-verde A Física do Papai Noel , é fisicamente impossível para o Papai Noel receber um presente para todas as crianças do planeta. O planejamento de rotas não ajuda muito lá, mas pode um bom algoritmo de planejamento garantir que todas as crianças recebam um presente de vez em quando, enquanto o Papai Noel também serve o maior número possível de crianças a cada ano?

Considere um gráfico completo com pesos reais reais e uma constante $k$. Queremos resolver uma variante do problema da pessoa de vendas itinerante:

Existe uma rota circular de comprimento no máximo $k$ que serve mais de $m$ nós?

A versão de otimização seria:

Maximize o número de nós que podem ser atendidos com uma rota circular de comprimento no máximo $k$.

Isso é motivado pelas limitações do mundo real nas rotas: o Papai Noel tem uma noite para entregar o maior número possível de presentes, um vendedor tem oito horas para a rota de um dia e assim por diante.

A primeira pergunta, mas não a final, é: quão difícil é esse problema? Vamos supor que podemos começar em qualquer nó, mas isso não deve fazer muita diferença.

Agora, para modelar a justiça, vamos assumir que existem $N$ nós e podemos visitar no máximo $M$com cada passeio. Idealmente, gostaríamos que cada nó fosse visitado$t\cdot\frac{M}{N}$ vezes através $t$passeios eficientes. Como pode haver nós de gargalo que precisam ser visitados com mais frequência para garantir que as rotas visitem muitos nós, alguns inevitavelmente precisarão ser visitados com menos frequência. Isso também exclui a aproximação trivial de remover os nós visitados uma vez até que todos tenham sido visitados.

Então, aqui está a pergunta final. Deixei$T$ser o número de passeios necessárias até que todos os nós têm sido visitado por eficiente $k$-tours. Como podemos determinar algoritmicamente o valor mínimo de$T$(e todas as rotas necessárias)? Quão complexo é esse problema?

Eu acho que esse é realmente um problema com vários critérios: cada passeio deve visitar o maior número possível de nós, enquanto queremos mantê-lo o mais distraído possível.

Estou um pouco confuso. E se$k$ é uma constante, então você pode tentar tudo $O(n^k)$possíveis passeios. Portanto, o problema está em${\sf P}$.

No entanto, se $k$ faz parte da entrada, o problema de decisão é ${\sf NP}$-completo. Isso pode ser demonstrado reduzindo-se$\text{HAM-CIRCUIT}$ para o problema, pela seguinte redução.

Suponha que desejamos determinar se um $n$-vertex graph $G$tem um circuito hamiltoniano. Então, tomamos o gráfico completo$K_n$ com a seguinte função de distância

Deixe-me dizer por que isso é uma redução. E se$G$ tem um circuito Hamiltoniano, então há um tour em $K_n$ com comprimento $n$. Em outras palavras, uma rota circular de comprimento$\le n$ que serve $> (n-1)$nós. Por outro lado, se houver um passeio de Papai Noel que visite$>(n-1)$nós é tem que visitar todos os nós. Como o passeio de Papai Noel só pode ter duração$\le n$ e todo comprimento da borda é pelo menos 1, todos $n$ As arestas deste passeio têm duração 1. Portanto, este passeio corresponde a um circuito hamiltoniano em $G$.