Prova da indecidibilidade do problema da parada

Estou tendo problemas para entender a prova da indecidibilidade do problema da parada.

Se retorna se o programa interrompido ou não na entrada b , por que precisamos passar o código de P para ambos a e b ?a b P a $H(a,b)$$a$$b$$P$$a$$b$

Por que não podemos alimentar $H()$ com $P$ e alguma entrada arbitrária, digamos, $x$ ?

A prova tem como objetivo encontrar uma contradição. Você precisa entender qual é a contradição derivada, para entender por que é usado como uma entrada para si mesmo. A contradição é informal: se temos uma máquina H (a, b) que decide "a aceita b", podemos construir uma máquina que aceita máquinas que não se aceitam. (Leia que algumas vezes até que você obtê-lo.) A máquina mostrada na imagem - vamos chamá-lo - faz não aceita ?H H ( P ) = P ⟨ P $P$$M$$M(P) =$$P$$\langle P \rangle$

A contradição acontece quando você pergunta: aceita ? Tente elaborar as duas opções para ver como há uma contradição.⟨ M $M$$\langle M \rangle$

⟨ M ⟩ M ⟨ M $M$ aceita se e somente se não aceita ; isso é claramente uma contradição.$\langle M \rangle$$M$$\langle M \rangle$

É por isso que é essencial que a prova execute em si mesma e não em alguma entrada arbitrária. Esse é um tema comum nas provas de impossibilidade conhecidas como argumentos diagonais.$P$

Ignore a imagem por um momento; chegaremos a isso em breve. O programa deve ser um testador de parada: quando damos a uma entrada de um programa (pense em como a listagem de um programa) e qualquer coisa para , age da seguinte maneiraH a a b H ( a , b $H(a, b)$$H$$a$$a$$b$$H(a, b)$

1. Se o programa representado por interrompido quando for fornecido como entrada, responderá "sim". Por outro lado, se o programa descrito por executado sempre que for dada a entrada então H ( a , b ) responderá "não".b H ( a , b ) $a$$b$$H(a, b)$$a$$b$$H(a, b)$
2. É importante ressaltar que o programa sempre interromperá e fornecerá a resposta correta para qualquer par ( a , b ) .$H$$(a, b)$

O argumento de que é impossível construir baseia-se na ação de um programa "perverso" específico, P , que usa H como sub-rotina. P usa como entrada uma lista de qualquer programa, x , e faz o seguinte:$H$$P$$H$$P$$x$

P(x) =
  run H(x, x)
  if H(x, x) answers "yes"
      loop forever
  else
      halt

Não é difícil ver isso

será interrompido se, e somente se, o programa x for executado para sempre quando for fornecida sua própria descrição como entrada.$P(x)$$x$

Até aí tudo bem: certamente será um programa enquanto sua sub - rotina H for um programa.$P$$H$

Agora retorne à imagem. O que acontece se receber sua própria descrição como entrada? A figura descreve exatamente esse cenário: Seja p a descrição do programa P , substituindo na parte destacada acima, teremos$P$$p$$P$

será interrompido se e somente se o programa P ( p ) for executado para sempre.$P(p)$$P(p)$

Claramente, esse comportamento paradoxal é impossível, então somos forçados a concluir que a sub rotina H não pode ser um testador de parada, uma vez que falha no primeiro caso, onde é fornecida ( p , p ) como entrada. Pode haver outros casos em que H funciona como deveria, mas como H falha em pelo menos uma situação, ele não pode ser um testador de parada completo, conforme necessário.$H$$(p, p)$$H$$H$

Experimente uma prova mais bonita com animações. E como os ansewrs devem conter mais do que apenas um link para um site, aqui está a resposta para sua pergunta.

Primeiro, vamos relembrar como funciona a prova da inexistência do oráculo Halting. Provamos que, dado qualquer candidato Ha um oráculo Halting, existe um programa Pe uma entrada apara os quais Hfalha em prever corretamente o que P(a)faz.

Teorema: Seja Hqualquer programa que aceite duas entradas e sempre retorne haltou loop. Então existe um programa Qe uma entrada aque Q(a)interrompe se, e somente se, H(Q,a)retorna loop.

Prova. Considere o programa

program P(y):
  if H(y,y) = halt then
    loop forever
  else:
    return

Let Q = Pe a = P. De qualquer H(Q,a) = haltou H(Q,a) = loop:

• se H(Q,a) = haltentão Q(a)(o que é justo P(P)) corre eternamente pela definição deP .
• se H(Q,a) = loopentão Q(a)parar pela definição de P.

QED

Você perguntou por que pensamos em H(P,P)vez de H(P,X)por outro X. A resposta óbvia é "porque H(P,P)é o que faz a prova funcionar"! Se você usasse H(P,X)algo arbitrário X, ficaria preso. De fato, a prova ficaria assim:

Prova quebrada. Considere o programa

program P(y):
  if H(y,y) = halt then
    loop forever
  else:
    return

Vamos Q = Pe a = Xpara alguns arbitrários X. De qualquer H(Q,X) = haltou H(Q,X) = loop:

• suponha H(Q,X) = haltque não possamos dizer o que P(X)faz, porque se P(X)parar depende do que H(X,X)retorna. Nós estamos presos. No entanto, se soubéssemos disso P(X)e X(X)somos iguais, poderíamos progredir. (Então, nós realmente devemos tomar X = P).
• se H(Q,a) = loopestivermos presos novamente, e ficaríamos desapegados se X = P.

Sem QED.

Espero que isso mostre que devemos considerar H(P,P)para que nossa ideia funcione.

O resultado da prova é esta analogia:

$P$$_{(P)}$$P^{\prime}$$_{(P^{\prime})}$$P$$_{(P)}$$_{(P)}$$_{(P)}$ . 🙂

$_{(P)}$$_{(P^{\prime})}$