Par de pontos mais próximo entre dois sets, em 2D

Eu tenho dois conjuntos de pontos no plano bidimensional. Quero encontrar o par mais próximo de pontos tal que , , e a distância euclidiana entre é a menor possível. Com que eficiência isso pode ser feito? Isso pode ser feito no tempo , onde ? $S,T$ $s,t$ $s \in S$ $t \in T$ $s,t$ $O(n \log n)$ $n = |S|+|T|$

Eu sei que se eu sou dado um único conjunto , então é possível encontrar o par mais próximo de pontos em tempo usando um algoritmo de divisão e conquista padrão . No entanto, esse algoritmo não parece generalizar para o caso de dois conjuntos, porque não há conexão entre a distância entre os dois pontos mais próximos dentro de ou versus a distância entre os dois pontos mais próximos entre esses conjuntos. $S$ $s,s' \in S$ $O(n \log n)$ $S$ $T$

Pensei em armazenar o conjunto em uma árvore d, depois para cada , usando uma consulta do vizinho mais próximo para encontrar o ponto mais próximo em para . No entanto, o pior caso de execução disso pode ser tão ruim quanto o tempo . Há resultados dizendo que, se os pontos de são distribuídos aleatoriamente, o tempo de execução esperado para cada consulta é ; portanto, obteríamos um algoritmo com o tempo de execução esperado $T$ $k$ $s \in S$ $T$ $s$ $O(n^2)$ $T$ $O(\log n)$ $O(n \log n)$ se tivéssemos a garantia de que os pontos são distribuídos aleatoriamente - mas estou procurando um algoritmo que funcione para qualquer coleção de pontos (não necessariamente distribuídos aleatoriamente).

Motivação: Um algoritmo eficiente seria útil para essa outra questão .

algorithms computational-geometry

— DW
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Respostas:

Sim, pode ser horário . Construir um diagrama de Voronoi para . Então, para cada ponto , encontre em qual célula do diagrama de Voronoi ela se encontra. O centro dessa célula é o ponto que está mais próximo de . $O(n \log n)$ $T$ $s \in S$ $t \in T$ $s$

Você pode criar um diagrama de Voronoi no tempo , e cada consulta (encontre a célula que contém ) pode ser feita no tempo , portanto, o tempo total de execução é o tempo . $O(n \log n)$ $s$ $O(\log n)$ $O(n \log n)$

— DW
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Bom, muito mais simples do que eu poderia criar :).

— Aelguindy 5/11

Boa abordagem! Os links ajudariam, especialmente para o lado da consulta. Eu poderia encontrar uma página da Wikipedia mostrando que o problema geral de localização de pontos pode ser resolvido no tempo

, mas existe uma maneira melhor para o caso especial das células Voronoi? Minha pesquisa apenas encontrou essa resposta , que faz da maneira

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

— Jrandom_hacker 5/11

T

$T$

n = | S | + | T |

$n = |S| + |T|$

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

n

$n$

O (n)

$O(n)$

\leq 6 n

$\le 6n$

Isso parece correto a partir desta pergunta em math.stackexchange.

— Albjenow 29/11/19

$L^1$

$d$ $O(n \log^{d-1} n)$

$O(n \log n)$ $O(n \log^2 n)$

$S, T$ $S$ $-\delta_z$ $T$ $\delta_z$ $z$ $\delta_z$ $\delta_z$

— aelguindy
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P_{2}

$P_2$

p_{m}

$p_m$

P

$P$ $P$

q_{m}

$q_m$

Q

$Q$ $Q$

l

$l$

O link está quebrado :(

— Keerthana Gopalakrishnan