Simule a concatenação de dois programas de espaço de log no espaço de log

Eu tenho dois programas de espaço de log $F$ e $G$.

• Programa $F$ receberá entrada na matriz $A[1..n]$ e criará a matriz de saída $B[1..n]$.
• Programa $G$ receberá como entrada $B$ como criado por $F$ e criar a partir dele a matriz de saída $C[1..n]$.

Eu tenho que escrever uma prova de que existe um programa de espaço de log $H$, que receberá a matriz de entrada $A$ e criar a partir dela matriz correspondente $C$. Mas não consigo encontrar a maneira correta de escrevê-lo. Como isso é feito?

Um programa de espaço de log é um programa que usa $O(\log n)$pedaços de memória. Aqui estão algumas condições que você deve manter:

1. Você precisa usar apenas variáveis ​​que tenham um tipo inteiro simples (por exemplo, intem C ++, longintem Pascal).

2. O intervalo permitido de número inteiro é definido: se $n$ é o tamanho da entrada que podemos salvar em variáveis ​​apenas valores que são dimensionados com base polimial com base em $n$.

   Por exemplo: podemos ter variáveis ​​que podem assumir valores em $[-n...n]$, $[-3n^5...3n^5]$ ou também valores $[-4...7]$, mas não podemos ter variáveis ​​que assumirão valores em $[ 0...2^n]$. Nenhum outro tipo de variável é permitido, nem matrizes e iteradores.

3. Exceções das regras sobre são entrada e saída. A entrada estará disponível em variáveis ​​especiais (principalmente matrizes) das quais o seu programa pode apenas ler e a saída pode ser gravada apenas em outras variáveis ​​especiais. Portanto, você não pode ler da saída e não pode aumentar os valores das variáveis ​​de entrada etc.

4. Seus programas não podem usar recursão.

Exemplo de programa de espaço de log escrito em Pascal (para que todos possam entender) que encontrará o maior número na matriz de números inteiros

    var n: integer;  //input variable the number of elements in A
    A: array [1..n] of integer; //input variable - the array of integers
    m: integer;      // output variable, the position of maximum
    i, j: integer;   //working variables
    begin
      j := 1;
      for i := 2 to n do
        if A[i] > A[j] then j := i;
      m := j;
    end;

As únicas duas variáveis ​​aqui são je ievidentemente levam valores em$[1...n]$. Portanto, todas as condições são atendidas e realmente é um programa de espaço de log.

A idéia aqui é que não podemos calcular completamente a saída do primeiro algoritmo porque ele pode levar mais do que espaço logarítmico (pode ser polinomialmente grande). Mas não precisamos se formos inteligentes. O que podemos fazer é simular o segundo algoritmo e produzir os bits necessários a partir da saída do primeiro algoritmo on-line. Em outras palavras, simularemos a segunda máquina, quando ela quiser ler bits$i$ da sua entrada, ou seja, o bit $i$ a partir da saída da primeira máquina, paramos a simulação da segunda máquina, simulamos a primeira e contamos (mas não armazenamos) os bits que ela produz até a saída da $i$No momento, podemos parar a simulação da primeira máquina e continuar com a simulação da segunda máquina, pois agora temos o valor do que ela queria ler.