Conjectura de Goldbach e números de Beaver ocupado?

Antecedentes: Sou um leigo completo em ciência da computação.

Eu estava lendo sobre os números do Busy Beaver aqui e encontrei a seguinte passagem:

A humanidade pode nunca conhecer o valor de BB (6) com certeza, muito menos o de BB (7) ou qualquer número superior na sequência.

De fato, os principais candidatos às cinco e às seis regras nos escapam: não podemos explicar como eles 'funcionam' em termos humanos. Se a criatividade imbui seu design, não é porque os humanos o colocam lá. Uma maneira de entender isso é que mesmo pequenas máquinas de Turing podem codificar problemas matemáticos profundos. Tomemos a conjectura de Goldbach, de que todo número par 4 ou superior é uma soma de dois números primos: 10 = 7 + 3, 18 = 13 + 5. A conjectura resiste à prova desde 1742. No entanto, poderíamos projetar uma máquina de Turing com, digamos, 100 regras, que testa cada número par para ver se é uma soma de dois números primos e pára quando e se encontrar um contra-exemplo para o conjetura. Então, conhecendo BB (100), poderíamos, em princípio, executar esta máquina por etapas de BB (100), decidir se ela parava e resolver a conjectura de Goldbach.

Aaronson, Scott. "Quem pode nomear o número maior?" Quem pode nomear o número maior? Np, nd Web. 25 de novembro de 2016.

Parece-me que o autor está sugerindo que podemos provar ou refutar a Conjectura de Goldbach, uma afirmação sobre infinitos números, em um número finito de cálculos. Estou sentindo falta de algo?

A declaração é sobre infinitamente muitos números, mas a sua manifestação (ou refutação) teria de ser um exercício finito. Se possível.

A surpresa pode vir da suposição (falsa) de que encontrar BB (100) seria um problema "teoricamente mais fácil", apenas impossível por razões práticas - já que existem tantas máquinas e elas podem funcionar por um longo período de tempo antes de parar. , se é que - afinal, são apenas máquinas ...

A verdade é que descobrir BB (n), por n suficientemente grande, deve ser uma tarefa insuperável, por razões teóricas e práticas.

A idéia do autor era que você pudesse escrever um programa em 100 linhas (qualquer número finito fixo aqui) que faça o seguinte: leva o número x, testa a conjectura. Se não for verdade, pare o resto e continue no próximo número.

Conhecendo o número de castores ocupados, você pode simular esta máquina para esse número de etapas e depois decidir se ela pára ou não. De cima, se parar - conjectura não é verdadeira, se não parar - conjectura é verdadeira.

Aaronson recentemente expandiu em detalhes essa reflexão / idéia aqui trabalhando com a Yedidia. [1] eles encontram uma máquina de estado 4888 explícita para a conjectura de Goldbach. você pode ler o jornal para ver como ele foi construído. As TMs raramente são construídas, mas as que costumam ser do tipo compilador são baseadas em linguagens de alto nível e os compiladores adicionam muitos estados. uma TM "construída à mão" poderia facilmente usar uma quantidade de estados em ordem de magnitude menor, por exemplo, na década de 100 ou menos de 100. em outras palavras, não houve realmente uma tentativa neste artigo de tentar realmente minimizar o número de estados . a idéia geral é sólida e os cientistas da computação geralmente não estão tão preocupados com constantes exatas no trabalho aplicado.

essa teoria geral é delineada pelos Caludes (também citados por [1]) em dois excelentes artigos que expõem alguns dos teoremas do folclore nesta área e que foram observados por outros autores (por exemplo, Michel). [2] [ 3] basicamente qualquer problema matemático aberto pode ser convertido em problemas indecidíveis. isso ocorre porque a maioria dos problemas matemáticos envolve a busca de um número infinito de casos em busca de contra-exemplos e os contra-exemplos são verificáveis ​​por algoritmo (mas talvez ineficientemente ou exigindo grandes TMs etc.).

Além disso, TMs "muito pequenas" (contadas em # de estados) podem verificar / ser problemas matemáticos muito complexos equivalentes. por exemplo, uma estimativa aproximada para uma TM resolver a conjectura de collatz seria de algumas dezenas de estados.

portanto, há uma conexão / analogia interessante entre indecidibilidade e integridade do NP. NP é a classe de problemas verificáveis ​​com eficiência, ou seja, instâncias podem ser verificadas no tempo P. problemas indecidíveis são a classe de todos os problemas que permitem a verificação algorítmica de contra-exemplos sem limite de eficiência.

Aqui está uma maneira básica de entender a conexão com o problema do castor ocupado. todos os problemas indecidíveis são equivalentes devido à computabilidade / equivalência de Turing. Assim como todos os problemas completos de NP podem ser convertidos entre si no tempo P (reduções), todos os problemas indecidíveis são equivalentes devido à completude de Turing e a reduções computáveis ​​(que podem levar um tempo arbitrário). portanto, o problema do castor ocupado é, nesse sentido, equivalente ao problema de parada, e se alguém pudesse resolver o castor ocupado, poderia resolver todas as questões matemáticas abertas.

[1] Uma MT relativamente pequena, cujo comportamento é independente da teoria dos conjuntos / Yedidia, Aaronson

[2] Avaliando a complexidade dos problemas matemáticos: parte 1 / Calude

[3] Avaliando a complexidade dos problemas matemáticos: parte 2 / Calude

1. A conjectura de Goldbach pode ser falsificada (se realmente falsa) por esse programa de MT; não pode ser provado correto dessa maneira (um matemático perspicaz, no entanto, pode fazer isso).

2. Saber BB (27) permitiria interromper a busca em Goldbach em algum momento; no entanto, BB (27) (ou Omega de Chaitin (27)) exigia anteriormente saber se o Goldbach TM eventualmente parava ou não.

Portanto, é enganoso dizer que "BB (27) inclui a resposta a Goldbach". Embora isso aconteça, mais importante é: "Goldbach (e muitos outros) são pré-requisitos para o número BB (27)", em outras palavras, não existe uma "função BB" que você desafie aos 27 anos. basta executar todas as máquinas de 27 estados, inkl. Goldbach, e somente após o fato, ver BB (27). E, de um ponto de vista prático, até o BB (6) parece ilusório.

Acho que parece menos misterioso se reafirmarmos o argumento de Aaronson em termos de provas:

$C$$C$$C$$C$ e verificando se alguma delas é uma prova válida.

$C$$C$$n$$BB(n)$$C = O(BB(n))$