Como pode P =? NP aprimora a fatoração de número inteiro

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Se fato é igual a , como isso aprimora nossos algoritmos para fatorar números inteiros mais rapidamente. Em outras palavras, que tipo de insight esse fato nos daria para entender melhor a fatoração inteira? ${\sf P}$ ${\sf NP}$

— Mike G
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Se , e temos um algoritmo que pode resolver o problema do k-SAT em tempo polinomial, a fatoração de número inteiro pode simplesmente ser reduzida para k-SAT, descrevendo o fatoração como um problema no k-SAT. $P=NP$

Essencialmente, ele funciona da seguinte maneira: Você cria um monte de variáveis, cada uma representando os bits de , e . Então você formula o problema k-SAT como . Como é conhecido, você pode definir esses valores. Então, uma tarefa satisfatória descreverá um e válidos . Para descrever a multiplicação no k-SAT, você pode usar qualquer um dos algoritmos de multiplicação conhecidos e descrever seu circuito lógico no k-SAT. Para mais informações sobre como reduzir o fatoração ao k-SAT, consulte aqui . $p$ $q$ $n$ $p*q=n$ $n$ $p$ $q$

Quanto a entender melhor a fatoração, isso provavelmente exigiria mais pesquisa e análise do algoritmo mágico (que pode resolver problemas completos de NP em tempo polinomial determinístico), e talvez especializá-lo na formulação de fatoração inteira do problema k-SAT (que obviamente tem uma estrutura muito específica, dependendo do algoritmo de multiplicação usado).

— Realz Slaw
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O problema de decisão para fatoração é e a fatoração pode ser reduzida a ele em tempo polinomial determinístico. $\mathsf{NP}$

Se , então qualquer problema em incluindo fatoração, terá um algoritmo de tempo polinomial. $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

Observe que os algoritmos determinísticos / probabilísticos mais conhecidos para fatoração no momento levam tempo exponencial, de modo que um algoritmo de tempo polinomial seria uma grande melhoria. Para ter uma idéia, considere fatorar um número de 2000 bits. Um pode demorar mais do que o tempo todo desde o big bang, o outro pode responder em alguns milissegundos.

— Kaveh
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apenas para esclarecer o OP: a versão de decisão comum do fatoração é "o número

possui um fator

tal que

", onde

e

são inseridos. o certificado é simplesmente um número

satisfaz a condição. o problema de decisão pode ser usado para realmente fator fazendo uma busca binária em

até que um único fator apropriado de

é encontrada e, em seguida, recurse em

.

X

$X$

Y

$Y$

1 < Y < K

$1 < Y < K$

X

$X$

K

$K$

Y

$Y$

K

$K$

X

$X$

X / Y

$X / Y$

— Sasho Nikolov 07/12/12