Ramificação e limite para disposição linear mínima

Estou tentando resolver esse problema de ramificação e limite, mas não consegui encontrar nenhuma função de custo aproximado que seja melhor que o custo.

Digamos $G$ é um gráfico de $n$ nós $\{1, 2, 3, \ldots , n\}$. Para uma permutação$f$ dos nós de $G$, o peso de cada aresta $(x,y)$ será $|f(x)-f(y)|$. O peso total de$G$será a soma dos pesos de suas arestas. Você pode pensar em$f$ como uma remarcação dos nós de $G$, Onde $f(x)$ é o novo rótulo do nó $x$.

Estou tentando encontrar uma permutação $f$ que resulta em um peso total mínimo de $G$.

Agora, tentando resolver isso, tudo o que pude encontrar é encontrar o custo aproximado que é a soma dos pesos de cada borda concluída até agora (para cada nó da árvore de retorno) e prosseguir a partir do nó de custo mínimo. Gostaria de saber se alguém pode me ajudar com uma melhor fórmula de aproximação.

Uma das melhores soluções é provavelmente baseada em um relaxamento de programação linear ou programação . Para o último, a ramificação e o retorno serão implícitos, e você não precisará gerenciá-lo.

Eu já vi isso resolvido de duas maneiras usando essa técnica. Também podemos melhorar um pouco o seu algoritmo de delimitação.

O método do livro didático

Usando variáveis ​​binárias $x_{ij}$ representando $f(i) = j$, você pode definir variáveis ​​contínuas $f(i) = \sum_{j=1}^n j x_{ij}$

Adicionar restrições $\sum_i x_{ij} = 1$ e $\sum_j x_{ij} = 1$ representando que uma posição recebe um e apenas um nó.

Para cada borda, o custo $c_e$ tem duas restrições: $c_e \geq f(i) - f(j)$ e $c_e \geq f(j) - f(i)$e você deseja minimizar $\sum_e c_e$

Você pode dar esse problema a um solucionador de programação inteiro, que ficará feliz em fazer o retorno para você e muito mais - ou você pode resolver o relaxamento da programação linear a cada vez (apenas se quiser aprender, o solucionador o otimiza internamente).

Outro relaxamento

Em vez de usar as posições como variáveis ​​binárias, você pode usar $f(i) < f(j)$ ie nó $i$ vai antes do nó $j$. Isso é mais adaptado se você deseja fazer a ramificação por conta própria e não especificar essas variáveis ​​explicitamente.

Com essa abordagem, às vezes você pode ter um problema mais rápido para resolver em cada nó - aqui ele pode ser resolvido como um problema mais simples de fluxo de custo mínimo, como mostra este documento . Eu não recomendo, a menos que você esteja disposto a investigar muito tempo e pesquisar seu problema.

Outras técnicas

Para ramificação e limite, qualquer limite inferior na sua função de custo será suficiente. Para pequenos problemas, sua abordagem delimitadora é perfeitamente adequada.

Você poderia torná-lo mais rígido: para cada aresta com um nó não colocado, escolha a melhor etiquetagem livre possível para estimar seu custo. Várias arestas podem usar o mesmo posicionamento para nós diferentes, mas isso será melhor do que estimar o custo como 0.

Há muitas variações possíveis nesse esquema: escolha a melhor etiqueta livre para cada nó não rotulado (independentemente de sobreposições) ou considere sobreposições apenas dentro de pequenos grupos de nós.