Conjecturas matemáticas equivalentes à parada de uma máquina de Turing

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Esta questão é sobre se todo teorema matemático pode ser reduzido à questão de uma única máquina de Turing parar. Em particular, estou interessado em conjecturas que atualmente não são comprovadas.

Por exemplo: a Wikipedia diz que atualmente não se sabe se existem números perfeitos ímpares. Como é decidido se um determinado número é perfeito, pode-se escrever uma máquina de Turing que verifique cada número ímpar por vez e pára se encontrar um que seja perfeito. (Esta máquina de Turing não recebe nenhuma entrada.) Se soubéssemos se essa máquina de Turing parou, saberíamos se a conjectura é verdadeira e vice-versa.

No entanto, como outro exemplo, o que dizer das conjeturas dos primos gêmeos ? É decidível se um determinado número é o primeiro primo em um par gêmeo, mas neste caso não podemos parar quando encontramos o primeiro, porque a questão é se existe um número infinito. Não está claro para mim se é possível fazer uma máquina de Turing que pare se e somente se a conjectura dos primos gêmeos for verdadeira.

Nós certamente pode fazer uma máquina de Turing que pára se e somente se a conjectura de primos gémeos é demonstrável dentro de aritmética de Peano ou algum outro sistema formal, mas isso é uma questão diferente, uma vez que pode ser verdade, mas não demonstrável no sistema particular que nós escolhemos.

Então, minhas perguntas são

É possível fazer uma máquina de Turing que pare se e somente se a conjectura dos primos gêmeos for verdadeira? (E se sim, como?)
É possível, em geral, fabricar uma máquina de Turing que interrompe se e somente se alguma afirmação matemática é verdadeira? Esta máquina de Turing pode ser construída algoritmicamente a partir da declaração formal?
Se não for possível, em geral, existe alguma maneira de classificar as afirmações matemáticas como equivalentes à interrupção de uma única máquina de Turing ou de uma máquina de turing com um oráculo , etc.? Em caso afirmativo, essa classificação é decidível para uma determinada afirmação?

formal-languages computability mathematical-foundations

— Nathaniel
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O que significa "verdadeiro"? Com que tipo de modelos estamos avaliando essa verdade em relação? Você terá que definir isso primeiro, eu acho.

— Jake

Acho que todas essas máquinas de Turing podem apenas testar a provabilidade. Mesmo se você não estiver explicitamente iterando sobre declarações verdadeiras no PE, ainda estará procurando uma prova de outra forma. A diferença é que a existência ímpar e perfeita de números obviamente não pode ser verdadeira e improvável, enquanto primos gêmeos podem.

— usar o seguinte código

Qualquer conjectura sobre conjuntos incontáveis não pode ser expressa usando máquinas de Turing.

— Raphael

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$\Sigma_1$ $\Sigma_1$ $\Pi_2$

$\phi$

$\phi$
$\phi$

Para verificar se essa construção é válida, considere a forma lógica da sua declaração:

\forall ϕ \exists T . ϕ \Leftrightarrow T halts .

$\forall \phi \exists T . \phi \Leftrightarrow T\text{ halts}.$

$\Phi$ $\phi \in \Phi$ $\phi$

$\Sigma_1$

— Yuval Filmus
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Obrigado, acho que a hierarquia aritmética é exatamente o que eu estava pedindo. Penso que o que realmente pretendia perguntar era "existe uma função computável total de (algum subconjunto de) instruções matemáticas para máquinas de Turing que não recebem entrada, de modo que a máquina correspondente a uma determinada instrução seja interrompida se a afirmação for verdadeira?" Mas é claro que isso é equivalente à versão que você propôs.

— Nathaniel #

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$f(1)=2$ $f(2)=4$ $f(n+1)=f(n)!$ $n \geq 2$ $n$ $\Theta_n$

S \subseteq {x_{i}! = x_{k} : i, k \in {1, \dots, n}} \cup {x_{i} \cdot x_{j} = x_{k} : i, j, k \in {1, \dots, n}}

$S \subseteq \{x_i! = x_k: i,k \in \{1,\ldots,n\}\} \cup \{x_i \cdot x_j=x_k: i,j,k \in \{1,\ldots,n\}\}$

$x_1,\ldots,x_n$ $1$ $(x_1,\ldots,x_n)$ $\min(x_1,\ldots,x_n) \leq f(n)$ $\Theta_1,\ldots,\Theta_{16}$

A declaração prova a implicação: se existe um primo gêmeo maior que , existem infinitos primos gêmeos, consulte este artigo de A. Tyszka ( nos conjuntos modo que o infinito de seja equivalente à existência em de um elemento que seja maior que um número limite calculado com a definição de ) $\Theta_{16}$ $f(16)+3$ $W \subseteq \mathbb{N}$ $W$ $W$ $W$

Ou seja, assumindo a instrução , uma única consulta para decide o problema dos gêmeos primos. $\Theta_{16}$ $0'$

— Apoloniusz Tyszka
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