Variável booleana verdadeira se a equação for satisfeita no ILP

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Assumindo $y$ é uma variável booleana em um programa ILP (ou seja, $y \in Z$ st $0 <= y <= 1$ ) e $x_1$ , $x_2$ são variáveis inteiras delimitadas entre $0$ e $M$ . Quero codificar a seguinte restrição de alto nível:

y = 1 ⟺ x_{1} \leq x_{2}

$y = 1 \iff x_1 \le x_2$

Até agora eu tenho isso:

x_{1} \leq x_{2} + (M + 1) y

$x_1 \le x_2 + (M+1)y$

Isso força que sempre que $x_1 > x_2$ é verdade, $y$ devemos ser $1$ ou a equação não será válida. No entanto, se $x_1 \le x_2$ , nada está restringindo $y$ e assim poderia ser $0$ ou $1$ .

Que outra equação eu poderia adicionar para codificar a restrição?

integer-programming

— Setzer22
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cs.stackexchange.com/q/104990/755

— DW

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Você pode fazer isso introduzindo as duas desigualdades

x_{1} \leq x_{2} + M (1 - y)

$x_1 \le x_2 + M (1-y)$

e

x_{1} > x_{2} - M y .

$x_1 > x_2 - M y.$

O primeiro codifica o requisito $y=1 \implies x_1 \le x_2$ (você pode ver que se $y=1$ , então o $M(1-y)$ termo desaparece; E se $y=0$ , então $M(1-y)$ torna-se algo enorme e a desigualdade é automaticamente satisfeita). Este último codifica o requisito $y=0 \implies x_1 > x_2$ (por razões semelhantes).

Espero que isso lhe dê uma idéia de como lidar com outros tipos de implicações também, caso surjam. Basicamente, multiplique por algo grande e adicione / subtraia em algum lugar.

— DW
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5

Você pode adicionar uma constante $0<A<M$ e você adiciona esta restrição:

A - y (A + M) ⩽ x_{1} - x_{2} ⩽ M (1 - y) .

$A-y(A+M)\leqslant x_1-x_2\leqslant M(1-y).$

Se , você ficará com $y=1$

- M ⩽ x_{1} - x_{2} ⩽ 0,

$-M\leqslant x_1-x_2\leqslant 0,$ que que .

x_{1} ⩽ x_{2}

$x_1\leqslant x_2$

E se , você ficará com $y=0$

A ⩽ x_{1} - x_{2} ⩽ M,

$A\leqslant x_1-x_2\leqslant M,$ que que (desde ).

x_{1} > x_{2}

$x_1>x_2$

0 < A < M

$0<A<M$

— Ribz
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Observe as restrições de indicadores e as restrições de SOS. Embora você possa definir as relações de destino linearmente como outras respostas explicaram, restrições especiais podem ser tratadas com mais eficiência pelo solucionador de IP.

Se você decidir implementar as restrições diretamente, conforme descrito pela outra resposta, tente usar o menor M possível e considere diminuir a tolerância à integralidade se o resultado não estiver correto. Além disso, para evitar desigualdades estritas, elas são ambíguas no contexto da aritmética de ponto flutuante.

Usando restrições de indicadores:

$x_1\le x_2 \leftarrow y=1$

$x_2\ge x_1 +1\leftarrow y=0$

A segunda restrição é equivalente a para números inteiros, se você quiser simplesmente solte o 1. $x_2>x_1$ $x_2\ge x_1$

— Septimus G
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Obrigado pelas sugestões úteis! Você pode elaborar como as restrições do SOS são úteis / úteis nessa situação específica?

— DW

Eu adicionei um exemplo com restrições de indicadores. Para o SOS, é mais complicado e é necessário introduzir variáveis adicionais; portanto, você pode não ganhar muito usando-as. Penso que o único aspecto a ser cuidadoso aqui são as questões numéricas que podem surgir usando as formulações propostas por outros e como aliviá-las. Se você tiver acesso a um solucionador com restrições de indicadores, tente-o dessa maneira, pois o solucionador pode se ramificar diretamente sobre eles ou modificar dinamicamente o valor big-M.

— Septimus G