Prova simples da completude de NP do Edge Dominating Set

Em um gráfico, um conjunto dominante de aresta é um subconjunto D das arestas, de modo que qualquer aresta no gráfico esteja em D ou compartilhe um ponto final com uma aresta em D. O problema do Conjunto dominante de aresta mínimo é encontrar um conjunto dominante de aresta de cardinalidade mínima. Sabe-se que a versão de decisão desse problema é NP-completa, mas eu gostaria de saber se uma prova relativamente simples desse fato é conhecida.

A única prova que encontrei na literatura está no artigo que abordou esse problema pela primeira vez por Gavril e Yannakakis . No entanto, a prova acima utiliza o fato de que a Vertex Cover é NP-completa para gráficos cúbicos planares e o fato de que os gráficos bipartidos de grau d podem ser de cor d-edge. Eu preferiria uma prova mais simples, que usaria apenas os fatos geralmente conhecidos pelos estudantes de graduação que fizeram um curso de algoritmos.

Suponho que você queira apenas mostrar que o problema mínimo do conjunto dominante da borda é NP-complete para o gráfico geral (ou seja, você não se importa com as propriedades do gráfico construído).

Caso você tenha perdido, há uma redução sem dúvida mais simples do 3-SAT no mesmo artigo (consulte o Teorema 2). A redução não assume nenhum conhecimento "especialista" adicional. Você pode facilitar ainda mais a apresentação ignorando a verificação da bipartidade e da limitação do grau máximo do gráfico resultante.

Há uma redução simples no papel aproximação dureza de problemas set borda dominando (Chlebík e Chlebíková, Journal of Otimização Combinatória 11 (3): 279-290, 2006).

A redução é adicionar um vértice universal conectado a todos os nós e substituir todas as arestas por um $P_5$com uma aresta pendente adicionada ao vértice do meio. Há um conjunto de tamanhos que domina a borda$|E|+k$ no novo gráfico, se houver uma cobertura de tamanho de vértice $k$no original. Você precisará de pelo menos uma borda para cada gadget; o resto é clássico. (Na verdade, acho que você não precisa do vértice universal)

Reduziremos o conjunto dominante de cobertura de vértice para borda e concluiremos a prova. Dada uma instância da versão de decisão do problema de cobertura de vértices$I(G,k)$, construímos $G'$ adicionando $nk+k$ novas arestas para $G$, Onde $n$ é o número de vértices em $G$:

• adicionar $k$ novos vértices;
• adicione uma aresta entre cada um desses novos vértices e cada vértice $G$, totalmente $nk$ arestas, chamadas arestas intermediárias;
• adicione uma aresta pendente a cada um dos novos vértices, totalmente $k$ arestas.

Observe que a borda que domina o conjunto $G'$ contém pelo menos $k$arestas. Observe também que qualquer conjunto de tamanho de borda dominante$k$ no $G'$só pode conter arestas intermediárias. Então afirmamos que$G$ tem uma cobertura de vértice de tamanho $k$ iff $G'$ tem um conjunto de tamanho de borda dominante $k$.