Como é esta gramática LL (1)?

Esta é uma pergunta do Dragon Book. Esta é a gramática:

$S \to AaAb \mid BbBa$
$A \to \varepsilon$
$B \to \varepsilon$

A pergunta pergunta como mostrar que é LL (1), mas não SLR (1).

Para provar que é LL (1), tentei construir sua tabela de análise, mas estou obtendo várias produções em uma célula, o que é contradição.

Por favor, diga como é este LL (1) e como provar isso?

Primeiro, vamos dar um número às suas produções.

1 2 S → B b B a 3 A → ε 4 B → $S \to AaAb$
$S \to BbBa$
$A \to \varepsilon$
$B \to \varepsilon$

Vamos calcular o primeiro e seguir os conjuntos primeiro. Para pequenos exemplos como esses, usar a intuição sobre esses conjuntos é suficiente.

$$\mathsf{FIRST}(S) = \{a, b\}\\ \mathsf{FIRST}(A) = \{\}\\ \mathsf{FIRST}(B) = \{\}\\ \mathsf{FOLLOW}(A) = \{a, b\}\\ \mathsf{FOLLOW}(B) = \{a, b\}$$

Agora vamos calcular a tabela . Por definição, se não temos conflitos, a gramática é L L ( 1 ) .$LL(1)$$LL(1)$

    a | b |
-----------
S | 1 | 2 |
A | 3 | 3 |
B | 4 | 4 |

Como não há conflitos, a gramática é .$LL(1)$

Agora, para a tabela . Em primeiro lugar, o G R ( 0 ) autómato.$SLR(1)$$LR(0)$

$$\mbox{state 0}\\ S \to \bullet AaAb\\ S \to \bullet BbBa\\ A \to \bullet\\ B \to \bullet\\ A \implies 1\\ B \implies 5\\ $$ $$\mbox{state 1}\\ S \to A \bullet aAb\\ a \implies 2\\ $$ $$\mbox{state 2}\\ S \to Aa \bullet Ab\\ A \to \bullet\\ A \implies 3\\ $$ $$\mbox{state 3}\\ S \to AaA \bullet b\\ b \implies 4\\ $$ $$\mbox{state 4}\\ S \to AaAb \bullet b\\ $$ $$\mbox{state 5}\\ S \to B \bullet bBa\\ b \implies 6\\ $$ $$\mbox{state 6}\\ S \to Bb \bullet Ba\\ B \to \bullet\\ B \implies 7\\ $$ $$\mbox{state 7}\\ S \to BbB \bullet a \\ a \implies 8\\ $$ $$\mbox{state 8}\\ S \to BbBa \bullet \\ $$

E então a tabela (presumo que S possa ser seguido por qualquer coisa).$SLR(1)$$S$

    a     | b     | A | B |
---------------------------
0 | R3/R4 | R3/R4 | 1 | 5 |
1 | S2    |       |   |   |
2 | R3    | R3    | 3 |   |
3 |       | S4    |   |   |
4 | R1    | R1    |   |   |
5 |       | S4    |   |   |
6 | R4    | R4    |   | 7 |
7 | S8    |       |   |   |
8 | R2    | R2    |   |   |

Existem conflitos no estado 0, então a gramática não é . Note-se que se L A L R ( 1 ) foi utilizado em vez disso, em seguida, ambos os conflitos seria resolvido correctamente: no estado 0 em antecipação um G Um G R ( 1 ) levaria R3 e em antecipação b levaria R4.$SLR(1)$$LALR(1)$$a$ $LALR(1)$$b$

Isso suscita a questão interessante de saber se existe uma gramática mas não L A L R ( 1 ) , que é o caso, mas não é fácil encontrar um exemplo.$LL(1)$$LALR(1)$

Se você não for solicitado, não precisará construir a tabela LL (1) para provar que é uma gramática LL (1). Você apenas calcula os conjuntos PRIMEIRO / SEGUINTE como Alex fez:

$\qquad \begin{align} \operatorname{FIRST}(S)&={a,b} \\ \operatorname{FIRST}(A)&={ε} \\ \operatorname{FIRST}(B)&={ε} \\ \operatorname{FOLLOW}(A)&={a,b} \\ \operatorname{FOLLOW}(B)&={a,b} \end{align}$

E então, por definição, uma gramática LL (1) deve:

1. Se e A ⇒ b são duas regras diferentes da gramática, então deve ser que PRIMEIRO ( a ) ∩ PRIMEIRO ( b ) = ∅ . Portanto, os dois conjuntos não têm nenhum elemento comum.$A \Rightarrow a$$A \Rightarrow b$$\operatorname{FIRST}(a) \cap \operatorname{FIRST}(b) = \emptyset$
2. Se por qualquer símbolo não-terminal você tem alfa ⇒ * ε , então ele deve ser que PRIMEIRO ( A ) ∩ FOLLOW ( A ) = ∅ . Portanto, se houver uma produção zero para um símbolo não terminal, os conjuntos PRIMEIRO e SEGUINTE não poderão ter nenhum elemento comum.$A$$Α \Rightarrow^* ε$$\operatorname{FIRST}(A) \cap \operatorname{FOLLOW}(A) = \emptyset$

Então, para a gramática dada:

1. Temos desde PRIMEIRO ( A a A b ) = { a } enquanto PRIMEIRO ( B b B a ) = { b } e eles não têm nenhum elementos comuns.$\operatorname{FIRST}(AaAb) \cap \operatorname{FIRST}(BbBa) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(AaAb) = \{a\}$$\operatorname{FIRST}(BbBa) = \{b\}$
2. desde PRIMEIRO ( A ) = { a , b } enquanto SEGUIR ( A ) = ∅ , e agora PRIMEIRO ( B ) ∩ SEGUIR ( B ) = ∅ desde PRIMEIRO ( B ) = { ε } enquanto SEGUIR ( B ) = $\operatorname{FIRST}(A) \cap \operatorname{FOLLOW}A) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(A) = \{a,b\}$$\operatorname{FOLLOW}(A) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(B) \cap \operatorname{FOLLOW}(B) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(B) = \{ε\}$ .$\operatorname{FOLLOW}(B) = \{a,b\}$

Quanto à análise SLR (1), acho que é perfeita!

Procure uma condição suficiente que faça uma gramática LL (1) (dica: veja os PRIMEIROS conjuntos).

Procure uma condição necessária que todas as gramáticas SLR (1) devem atender (dica: veja os conjuntos de SEGUINTES).