Uma linguagem unária é regular se seu expoente for uma função linear?

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Enquanto fazia a tarefa atual para meus idiomas formais e curso de autômatos, eu meio que fiquei preso em exercícios envolvendo idiomas unários (espero que seja o termo certo), ou seja, idiomas que se baseiam em uma única letra. Porém, não quero perguntar sobre os exercícios específicos, mas sobre uma conjectura muito mais geral que apresentei:

Deixe e . Meu conjectura é: $\Sigma=\{a\}$ $L=\{a^{f(n)}\in\Sigma^*:n\in\mathbb N_0\}$

L is regular \Leftrightarrow \exists x, y \in N_{0} : f (n) = x \cdot n + y

$L\text{ is regular}\Leftrightarrow \exists x,y\in\mathbb N_0:f(n)=x\cdot n+y$

Essa pergunta já teve algum tratamento científico antes? É "obviamente" verdadeiro / falso?

Para mim, obviamente, o "direção " " é verdadeira porque é possível apenas construir um DFA comestados que percorre osestados depois de ler osestados e aceita se está no número de estado . $\Leftarrow$ $x+y$ $x$ $y$ $y$

formal-languages regular-languages

— SEJPM
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Bom trabalho, fazer essa observação não é nada que eu esperaria dos alunos comuns!

— Raphael

Acordado. Esta é uma observação muito agradável.

— Rick Decker

Não é óbvio no título, mas já tivemos essa pergunta antes, com um pequeno lema de equivalência: quais são os conjuntos possíveis de tamanhos de palavras em um idioma comum?

— Gilles 'SO- stop be evil'

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Linear é aproximado, mas o termo técnico que você procura é semilinear: isto é, uma união finita de conjuntos lineares.

Metade da prova disso é um corolário do Teorema de Parikh , que diz que qualquer linguagem sem contexto possui um mapa Parikh semi-linear (ou seja, o conjunto de vetores que contém as ocorrências de cada letra do alfabeto).

Para um idioma unário, o mapa parikh do idioma é o próprio idioma (ou seja, cada palavra é identificada exclusivamente por quantas letras possui), portanto, cada idioma regular unário é semi-linear.

A outra metade da prova está mostrando que você pode construir uma linguagem regular contendo todos os conjuntos semi-lineares unários. Isso requer um pouco de trabalho, mas não é muito difícil se você usar expressões regulares:

$a^k$ $\{ k \}$
reconhece $(a^k)^*$ $\{xk \mid x \in \mathbb{N}_0 \}$
$R_1 R_2$ $S_1 + S_2$ $R_1$ $S_1$ $R_2$ $S_2$ $+$
$R_1 | R_2$ $S_1 \cup S_2$ $R_1$ $S_1$ $R_2$ $S_2$ $|$

— jmite
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L = {a^{k} ∣ k = 3 n + 1 or k = 7 n + 4}

$L=\{a^k\mid k=3n+1\text{ or }k=7n+4\}$

L = {a^{k} ∣ k = 4 n + 2 or k = 13}

$L=\{a^k\mid k=4n+2\text{ or }k=13\}$

— Rick Decker
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