A constante de Chaitin é normal?

Segundo esta fonte, a constante Chaitin é normal.$\Omega$

Cada probabilidade de parada é um número real normal e transcendental que não é computável, o que significa que não há algoritmo para calcular seus dígitos. De fato, cada probabilidade de parada é aleatória de Martin-Löf, o que significa que não existe nenhum algoritmo capaz de adivinhar com precisão seus dígitos.

Fonte (Wikipedia)

Além disso, a definição de normal é que cada dígito ocorre com igual probabilidade . E que cada dueto de dígitos ocorre com probabilidade 1 / b ^ 2 e todos os trigêmeos ocorrem com probabilidade 1 / b ^ 3 e assim por diante.$1/b$$1/b^2$$1/b^3$

O ômega de Chaitin é calculado via

$\Omega = \sum_{p \in halts} 2^{-|p|}$

Escrevendo $\Omega$ em binário, obtemos uma lista de 0 e 1. Por exemplo,

2^-1=0.1 +
2^-2=0.01 +
2^-3=0.001 +
~skip 2^-4 as it does not halt
2^-5=0.00001 +
...
=\Omega
=0.11101...

Claramente, podemos ver que a posição de cada bit corresponde ao estado de parada do programa de comprimento correspondente ao bit.

Aqui está o que eu estou lutando com

Se $\Omega$ é realmente normal, significa que exatamente 50% dos programas são interrompidos e exatamente 50% não. Isso parece muito contra-intuitivo.

Por exemplo, suponha que eu gere programas java concatenando aleatoriamente caracteres únicos. A maioria deles, acho que mais de 99,99% nem compilaria. Isso não implica que pelo menos 99,99% deles não parem? Como justificamos que exatamente metade irá parar e exatamente a metade não, em virtude de $\Omega$ ser normal.

Ou a wikipedia está incorreta sobre ser normal?$\Omega$

Em contraste com o seu exemplo, a constante de Chaitin não é definida da seguinte maneira:

Em vez disso, existe um conjunto de programas permitidos que não contém prefixos (nenhuma string é o prefixo de outra string). Cada um dos programas em é legal (isso nega o seu exemplo de Java). Se os programas são codificação em unário, então é realmente o caso que o º programa tem comprimento , em seguida, a sua definição de funciona. Mas para outras codificações, a definição de é$\Pi \subseteq \{0,1\}^*$$\Pi$$n$$n$$\Omega$$\Omega$

A constante de Chaitin é algoritmicamente aleatória : a complexidade (prefixo) de Kolmogorov dos primeiros bits é . Para mostrar isso, observe primeiro que , os primeiros bits de , são suficientes para determinar se um programa de comprimento (na codificação ) é interrompido ou não. De fato, como uma fração, . Execute todos os programas em paralelo e, sempre que parar, adicione a algum contador (inicializado em zero). Eventualmente, (desde$n$$n - O(1)$$\Omega_n$$n$$\Omega$$n$$\Pi$$\Omega_n \leq \Omega < \Omega_n + 2^{-n}$$p$$2^{-|p|}$$C$$C \geq \Omega_n$$C \to \Omega$de baixo). Nesse ponto, se o programa de entrada de comprimento não parar, você saberá que ele não será interrompido, pois caso contrário .$n$$\Omega \geq C + 2^{-n} \geq \Omega_n + 2^{-n}$

Dado isso, suponha que, para alguns e infinitamente muitos , você possa calcular usando bits. Para cada um desses , é possível encontrar uma sequência cuja complexidade de Kolmogorov seja maior que , considerando a saída de todos os programas de duração de no máximo . Para suficientemente grande , o resultado é um programa de comprimento no máximo para computar a string cuja complexidade de Kolmogorov é maior que . Essa contradição prova que, para alguns , a complexidade Kolmogorov de é pelo menos .$K>0$$n$$\Omega_n$$n - K$$n$$n$$n$$K$$n$$n$$K$$\Omega_n$$n-K$

A aleatoriedade algorítmica de implica, em particular, que a frequência de 0s e 1s em sua expansão binária tende a 1/2. De fato, suponha que, para alguns , existam infinitamente muitos tais que a fração de 1s em seja no máximo . Como existem apenas no máximo seqüências com no máximo muitos 1s, podemos compactar no tamanho (a constante depende de pois o programa precisa saber$\Omega$$\epsilon > 0$$n$$\Omega_n$$1/2-\epsilon$$2^{h(1/2-\epsilon)n}$$1/2-\epsilon$$\Omega_n$$h(1/2-\epsilon)n + 2\log n + C_\epsilon$$C_\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$) No entanto, isso é , contradizendo a aleatoriedade algorítmica de .$n - \omega(1)$$\Omega$

Seu erro está na seguinte linha:

Se é realmente normal, significa que exatamente 50% dos programas são interrompidos e exatamente 50% não.$\Omega$

Não. Não é isso que "normal" significa. Ou, para dizer de outra forma: defina como o número de bits 0, nos primeiros bits da expansão da base-2 de . Dizer que é normal implica que$d_0(n)$$n$$\Omega$$\Omega$

Em outras palavras, "normal" é uma noção assintótica. Isso significa que, quando você olhar o suficiente para os bits de , em média cerca de metade deles será zero. (Da mesma forma, cerca da metade com 1).$\Omega$

No entanto, isso não diz nada sobre os primeiros bits do . Por exemplo, não há implicações de que a expansão binária comece como 0,01 ... ou qualquer outra coisa - e não há implicações de que esteja próximo de 1/2. pode estar próximo de 0 ou próximo de 1 ou em qualquer outro local; isso não contradiz ser normal, e ser normal não implica nada sobre o tamanho do .$\Omega$$\Omega$$\Omega$$\Omega$$\Omega$