Localizando ciclos negativos para o algoritmo de cancelamento de ciclo

Estou implementando o algoritmo de cancelamento de ciclo para encontrar uma solução ideal para o problema de fluxo de custo mínimo. Ao encontrar e remover ciclos de custo negativos na rede residual, o custo total é reduzido em cada rodada. Para encontrar um ciclo negativo, estou usando o algoritmo bellman-ford.

Meu problema é: o Bellman-ford encontra apenas ciclos que podem ser acessados a partir da fonte, mas também preciso encontrar ciclos que não são acessíveis.

Exemplo: na rede a seguir, já aplicamos um fluxo máximo. A beira $(A, B)$ torna muito caro. Na rede residual, temos um ciclo de custo negativo com capacidade $1$ . Removê-lo, nos daria uma solução mais barata usando bordas $(A, C)$ e $(C, T)$ , mas não podemos alcançá-lo da fonte $S$ .

Etiquetas: Custo / Fluxo / Capacidade

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Obviamente, eu poderia executar o Bellman-ford repetidamente com cada nó como fonte, mas isso não parece uma boa solução. Estou um pouco confuso porque todos os papéis que li parecem pular esta etapa.

Você pode me dizer, como usar o bellman-ford para encontrar todos os ciclos negativos (acessíveis ou não)? E se não for possível, qual outro algoritmo você propõe?

— Patrick Schmidt
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Se um ciclo não pode ser alcançado através da fonte, como isso pode afetar o fluxo total?

— Nicholas Mancuso

Não afetará o valor do fluxo, mas o custo total. Veja o novo exemplo.

— Patrick Schmidt

Eu acho que você deveria estar carregando Bellman-Ford da pia, não? Se você encontrar um fluxo máximo,

f

$f$ , abaixo do gráfico residual

G_{f}

$G_f$ não haverá um caminho de

s

$s$ para

t

$t$ . Portanto, Bellman-Ford deve ser executado em

G_{f}

$G_f$ com

t

$t$ .

— Nicholas Mancuso

Respostas:

Para expandir meu comentário, lembre-se, esse algoritmo para encontrar fluxo de custo mínimo baseia-se no fato de que $f$ é máximo. Executando primeiro a Ford-Fulkerson para encontrar $f$ e a rede residual resultante $G_f$ , o custo $f$ é então reduzido por encontrar ciclos negativos em $G_f$ . Ou seja, encontrando ciclos negativos em $G_f$ nós não mudamos a quantidade de fluxo, $f$ , mas apenas o custo.

Agora, executando Bellman-Ford de $t$ no $G_f$ podemos rastrear para trás em arestas com fluxo não negativo (por definição de $G_f$ ) Se os ciclos estiverem adjacentes a qualquer aresta nesses caminhos, podemos "transferir" uma certa quantidade de fluxo para outras arestas do ciclo. Em outras palavras, mantemos o fluxo líquido por algum ciclo o mesmo, mas somos capazes de alterar o custo.

Observe um ciclo inacessível de $t$ deve ter fluxo zero. Caso contrário, teríamos uma contradição em $f$ sendo máximo.

^{Peço desculpas pela "ondulação da mão" dessa explicação. Vou tentar ser mais formal quando tiver tempo esta noite.}

— Nicholas Mancuso
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Obrigado, sua última frase deixa claro. Portanto, basta lidar com ciclos acessíveis a partir de

T

$T$ .

— Patrick Schmidt

Minha sugestão: você deve iniciar o algoritmo a partir de T, a fim de encontrar um ciclo negativo em sua rede residual. O resultado deve ser o mesmo, mas você pode alcançar o círculo

— Sven Jung
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Isso funciona para este gráfico, mas você pode ter ciclos negativos que não estão conectados a S ou T. Suspeito que o OP queira uma solução que funcione em geral.

— Peter Shor

sim, em geral você não consegue encontrar todos os ciclos negativos, mas o OP quer melhorar sua rede residual verificando os custos. Então círculos negativos inacessível não importa

— Sven Jung

Eu quero usar isso para obter um fluxo de custo mínimo. Portanto, a nova pergunta seria: É suficiente eliminar todos os ciclos alcançáveis da pia

T

$T$ (Na rede residual). No momento não consigo encontrar um exemplo contrário

— Patrick Schmidt

Você pode visualizar um fluxo como originário em

S

$S$ e indo para

T

$T$ ou inverta todas as arestas e veja-as como originárias de

T

$T$ e indo para

S

$S$ . Se eliminar todos os ciclos alcançáveis a partir da fonte

S

$S$ não funciona, eliminando todos os ciclos acessíveis da pia

T

$T$ não vai funcionar. A fonte e o coletor se comportam simetricamente.

— Peter Shor

é claro que é o mesmo se você inverter todas as arestas e começar com T, porque nada mudou. Mas por que não começar em T sem inverter as arestas?, Então você deve encontrar um ciclo negativo acessível, se existente. A questão é, se os ciclos negativos inacessíveis realmente não importa

— Sven Jung

Eu acho que não é suficiente rodar Bellman-Ford de T ou S. Considere um exemplo em que há uma borda de S para T e um ciclo de custo negativo não alcançável nem de S nem de T.

Uma solução é adicionar um S 'auxiliar e adicionar uma aresta de S' a qualquer outro vértice com custo 0. Em seguida, execute Bellman-Ford da S '. Desta forma, todos os ciclos negativos são alcançáveis a partir de S '.

Além disso, você realmente não precisa adicionar esse vértice auxiliar S 'em sua implementação. Apenas inicialize d (v) = 0 para qualquer vértice v.

Veja como a Boost Graph Library a implementa.

— Hongjie Chen
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