Cálculo lambda fora da programação funcional?

Sou estudante universitário e atualmente estamos estudando o Lambda Calculus. No entanto, ainda tenho dificuldade em entender exatamente por que isso é útil para mim. Sei que, se você faz muita programação funcional, isso pode ser útil, mas acho que não é realmente necessário para aprender programação funcional, o que você acha?

Em segundo lugar, existe alguma utilidade para o Lambda Calculus no âmbito da Ciência da Computação, mas fora das linguagens de programação funcional?

O cálculo lambda é fundamental em lógica, teoria de categorias, teoria de tipos, verificação formal, ... Basicamente, qualquer coisa relacionada à semântica da linguagem de programação e à lógica formal. É um formalismo tão fundamental que as pessoas que trabalham nesses campos nem sequer questionam seus benefícios.

Eu acho que é extremamente útil para entender a programação funcional, porque fornece a essência da programação funcional. Funções, aplicação, substituição. Com base nisso, você pode desenvolver suas habilidades de raciocínio sobre programas funcionais e transformações deles. Funções de ordem superior são fáceis.

Claro que você poderia aprender programação funcional sem o cálculo lambda, mas nunca entenderia verdadeiramente a programação funcional sem ele.

Você está solicitando um aplicativo fora da ciência e da lógica da computação. Isso é facilmente encontrado, por exemplo, na topologia algébrica, é conveniente ter uma categoria de espaços fechados cartesianos; consulte a categoria conveniente de espaços topológicos no nLab. A linguagem formal correspondente às categorias fechadas cartesianas é precisamente o $\lambda$ cálcio. Deixe-me ilustrar com um exemplo muito simples como isso é útil.

Primeiro, como um exercício de aquecimento, suponha que alguém lhe pergunte se a função definida por f ( x ) = x 2 e x + log ( 1 + x 2 ) é diferenciável. Na verdade, você não precisa provar que é, apenas observa que é uma composição de funções diferenciáveis, portanto diferenciáveis. Em outras palavras, você concluiu facilmente com base no formulário$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$f(x) = x^2 e^x + \log (1 + x^2)$ de definição.

Agora, o exemplo real. Suponhamos que alguém pergunta se a função definido por F ( x ) = ( λ f : C ( R ) . ∫ x - x f ( 1 + t 2 ) d t ) ( λ y : I . Max ( x , pecado ( y + 3 ) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Várias extensões do cálcio tornam possível fazer o mesmo tipo de coisa em outras áreas. Por exemplo, como topos suaves é uma categoria fechada cartesiana, qualquer mapa que é definido usando o cálcio λ , a partir de derivadas e da estrutura de anéis dos reais (e você pode ativar a função exponencial, se desejar) é automaticamente suave . (Na verdade, o principal impulso dos topos suaves é a existência de infinitesimais nilpotentes, que permitem dizer coisas significativas como "dissecamos um disco em triângulos isósceles infinitamente finos".)$\lambda$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$ -calculus é tão simples, os pontos em comum entre muitas linguagens de programação que permitem parametrizar o código são destacados de maneira especialmente clara.

$\lambda$

$\lambda$

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Sem saber mais, soube que os linguistas estão usando o cálculo lambda.

http://www.sfu.ca/~jeffpell/Ling406/LambdaAbstractionOH.pdf , https://files.nyu.edu/cb125/public/Lambda/