Quantas arestas um gráfico unipático pode ter?

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Um gráfico unipático é um gráfico direcionado, de modo que exista no máximo um caminho simples de um vértice para outro vértice.

Gráficos unipáticos podem ter ciclos. Por exemplo, uma lista duplamente vinculada (não circular!) É um gráfico unipático; se a lista tiver $n$ elementos, o gráfico terá ciclos de comprimento 2, para um total de . $n-1$ $2(n-1)$

Qual é o número máximo de arestas em um gráfico unipático com vértices? Uma ligação assintótica serviria (por exemplo, ou ). $n$ $O(n)$ $\Theta(n^2)$

_{Inspirado por Encontre caminhos mais curtos em um gráfico unipático pesado ; na minha prova , inicialmente eu queria afirmar que o número de arestas era mas depois percebi que limitar o número de ciclos era suficiente. $O(n)$}

graphs combinatorics

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
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Boa pergunta. Devemos tentar melhorar seu limite inferior ou o limite superior :).

— RB

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Um gráfico unipático pode ter arestas. Há um tipo bem conhecido de gráfico que é unipathic e tem bordas. $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

Considere um gráfico bipartido completo, com arestas orientadas . Este gráfico é unipático e não possui ciclo: todos os seus caminhos têm comprimento . Possui vértices e arestas. $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{(Pergunta de acompanhamento: essa proporção é máxima? Provavelmente não, mas não tenho outro exemplo. Este exemplo é máximo no sentido de que qualquer borda que você adicionar entre os nós existentes quebrará a propriedade unipática.)}

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
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"qualquer aresta que você adicionar entre os nós existentes quebrará a propriedade unipathic" Como a adição da aresta

quebraria a propriedade?

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— Mitchus 23/03

@mitchus

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— Gilles 'SO- stop

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Acho que minha mente estava de alguma maneira unipática naquele dia :) Quanto à maximalidade, a proporção pode ir para 1/4 para

grande , mas para

a lista duplamente vinculada tem mais arestas do que

.

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— 26612 mitchus

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Não sei se existe um gráfico unipático em mais de arestas, mas aqui está um argumento que mostra que não mais que $\frac{n^2}{4}$ São possíveisarestas: $\frac{n^2}{2}+3$

Suponha, por contradição, que é um gráfico unipático tal que $G=(V,E)$ . $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

Pelo princípio do buraco de pombo, existem tal que $v\in V$

d_{dentro} (v) \geq \frac{n}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

Denotar $U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

Note-se que se não havia um vértice de tal modo que $x\in V\setminus \{v\}$

\exists {você}_{1} \neq {você}_{2} \in você : (x, {você}_{1}), (x, {você}_{2}) \in E

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

$(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

$\{v\}\times U$

| E \cap (V \times U) | \leq 2 | U |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

$U$

| E | = | E \cap (V \times U) | + | E \cap (V \times (V ∖ U)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | U | + n | V ∖ U | \leq 2 (\frac{n}{2} + 1) + n (\frac{n}{2} - 1) < \frac{n^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— RB
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