Quantas arestas um gráfico unipático pode ter?


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Um gráfico unipático é um gráfico direcionado, de modo que exista no máximo um caminho simples de um vértice para outro vértice.

Gráficos unipáticos podem ter ciclos. Por exemplo, uma lista duplamente vinculada (não circular!) É um gráfico unipático; se a lista tiver n elementos, o gráfico terá ciclos de comprimento 2, para um total de .n12(n1)

Qual é o número máximo de arestas em um gráfico unipático com vértices? Uma ligação assintótica serviria (por exemplo, ou ).nO(n)Θ(n2)

Inspirado por Encontre caminhos mais curtos em um gráfico unipático pesado ; na minha prova , inicialmente eu queria afirmar que o número de arestas era mas depois percebi que limitar o número de ciclos era suficiente.O(n)


Boa pergunta. Devemos tentar melhorar seu limite inferior ou o limite superior :).
RB

Respostas:


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Um gráfico unipático pode ter arestas. Há um tipo bem conhecido de gráfico que é unipathic e tem n 2 / 4 bordas.Θ(n2)n2/4

Considere um gráfico bipartido completo, com arestas orientadas . Este gráfico é unipático e não possui ciclo: todos os seus caminhos têm comprimento 1 . Possui 2 m de vértices e m 2 de arestas.(i,j)[1,m]2,aibj12mm2

(Pergunta de acompanhamento: essa proporção é máxima? Provavelmente não, mas não tenho outro exemplo. Este exemplo é máximo no sentido de que qualquer borda que você adicionar entre os nós existentes quebrará a propriedade unipática.)


"qualquer aresta que você adicionar entre os nós existentes quebrará a propriedade unipathic" Como a adição da aresta quebraria a propriedade? b1a1
Mitchus 23/03

@mitchus a2b1a1b2
Gilles 'SO- stop

1
Acho que minha mente estava de alguma maneira unipática naquele dia :) Quanto à maximalidade, a proporção pode ir para 1/4 para grande , mas para n { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } a lista duplamente vinculada tem mais arestas do que n 2 / 4 . nn{2,3,4,5,6}n2/4
26612 mitchus

0

Não sei se existe um gráfico unipático em mais de arestas, mas aqui está um argumento que mostra que não mais quen2n24São possíveis 2 +3arestas:n22+3

Suponha, por contradição, que é um gráfico unipático tal que | E | n 2G=(V,E).|E|n22+3

Pelo princípio do buraco de pombo, existem tal que d em ( v ) nvV

ddentro(v)n2+1

Denotar você={vocêV(você,v)E}

Note-se que se não havia um vértice de tal modo que u 1u 2L : ( x , u 1 ) , ( x , u 2 ) ExV{v}

você1você2você:(x,você1),(x,você2)E

(xu1v)(xu2v)

{v}×U

|E(V×U)|2|U|

U

|E|=|E(V×U)|+|E(V×(VU))|
2|U|+n|VU|2(n2+1)+n(n21)<n22+3

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