Todo simples gráfico não direcionado com mais de

Se um gráfico com $n$vértices possui mais de arestas e, em seguida, é conectado.$\frac{(n-1)(n-2)}{2}$

Estou um pouco confuso sobre essa questão, pois sempre posso provar que, para um gráfico conectado, você precisa de mais do que arestas.$|E|>n-1$

Não sei o que a incomoda, mas, a meu ver, você está confuso com os dois fatos a seguir

1. Se um gráfico estiver conectado, então $e \geq n-1.$

2. Se um gráfico tiver mais de $e > \frac{(n-1)(n-2)}{2}$ então está conectado.

Observe que as implicações em 1 e 2 estão em direções opostas.

Para uma prova de 2. você pode conferir este link .

Eu acho que seu problema pode ser provar que você não pode construir um gráfico não direcionado com$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}$bordas que não estão conectadas. Você está pensando nisso da maneira errada. o$E = n - 1$ fórmula sobre quantas arestas você pode usar para conectar todos os vértices.

Imagine que você é um adversário tentando projetar um sistema rodoviário horrível para que uma cidade seja desconectada. Não importa o quão ineficiente você gaste suas estradas, você ainda terá que conectar todas as cidades, se houver tantas estradas.

Considere qual poderia ser o pior projeto possível, por exemplo, aquele que usa o maior número possível de estradas, mas ainda deixa uma cidade desconectada. Quantas arestas possui? O que acontece quando você adiciona mais uma vantagem a isso?

1. Como você mencionou, temos:

$G\text{ is connected} \Rightarrow |V|-1 \le |E|$

Mas a outra direção não é verdadeira, ou seja:

$G\text{ is connected} \Leftrightarrow |V|-1 \le |E|$

é afirmação errada.

Portanto, você não pode usá-lo para mais raciocínios. Exemplo de contador de amostra é este gráfico ($K_t$ é um gráfico completo sobre $t$ vértices e $\cup$ significa união disjunta de gráficos):

$G = K_{n-1} \cup K_1$

$G$ tem $n-1\choose 2$ bordas e $n$ nós e ${n-1\choose 2} > n-1$ para $n>4$.

2.Por outro lado, para provar que:

${|V|-1 \choose 2} < |E| \Rightarrow G\text{ is connected}$

Podemos fazer o seguinte:

Suponha que não, então $G$ é a união disjunta de dois gráficos $G=G_1\cup G_2$com $|G_1| = k, |G_2| = n-k, 0<k<n$, se conectarmos todos os vértices de $G_1,G_2$ juntos para fazer gráfico $G"$, então $|E_{G"}|\le {n \choose 2}$ (Porque $G"$ possui no máximo como arestas completas do gráfico) mas:

${n-1 \choose 2} + 1 + k\cdot (n-k) \le |E_{G"}| \le {n \choose 2} \Rightarrow$

$(k-1)(n-k-1) + 1 \le 0\Rightarrow$ Contraditos com $0<k<n$.

O gráfico G possui n nós n = (n-1) +1 Um gráfico a ser desconectado deve ter pelo menos um vértice isolado. Um gráfico com um vértice isolado possui no máximo arestas C (n-1,2).

portanto, todo gráfico conectado deve ter mais de C (n-1,2) arestas.