Neste artigo da Wikipedia sobre o problema do Clique na teoria dos grafos , afirma no início que o problema de encontrar um clique do tamanho K, em um gráfico G, é NP-completo:
As panelinhas também foram estudadas em ciência da computação: descobrir se existe uma panelinha de um determinado tamanho em um gráfico (o problema da panelinha) é NP-completo, mas, apesar dessa dureza, muitos algoritmos para encontrar panelinhas foram estudados.
Mas neste outro artigo da Wikipedia sobre o problema de Clique no CS, ele diz que está resolvendo o problema para um tamanho fixo k é um problema em P, pode ser brutalmente forçado em tempo polinomial.
Um algoritmo de força bruta para testar se um gráfico G contém uma clique em k-vértice e encontrar qualquer clique que contenha, é examinar cada subgrafo com pelo menos k vértices e verificar se ele forma uma clique. Esse algoritmo leva tempo O (n ^ kk ^ 2): existem subgráficos O (n ^ k) para verificar, cada um com O (k ^ 2) arestas cuja presença em G precisa ser verificada. Assim, o problema pode ser resolvido em tempo polinomial sempre que k for uma constante fixa. Quando k faz parte da entrada do problema, no entanto, o tempo é exponencial.
Há algo que estou perdendo aqui? Talvez uma diferença na redação do problema? E o que a última frase significa, "Quando k faz parte da entrada para o problema, no entanto, o tempo é exponencial". Por que existe uma diferença quando k faz parte da entrada do problema?
Minha idéia é que, para encontrar um clique do tamanho k em um gráfico G, primeiro escolhamos um subconjunto do tamanho k de nós de G e testemos se todos eles estão relacionados aos outros k nós, o que pode ser feito em constante Tempo. E repita isso até termos um clique do tamanho k. O número de conjuntos de k nós que podemos escolher G é n! / k! * (nk) !.