Encontrar o número de elementos menores para cada elemento em uma matriz de forma eficiente

Estou preso neste problema:

Dada uma matriz dos primeiros números naturais permutados aleatoriamente, uma matriz é construída, de modo que é o número de elementos de a que são menores que . $A$ $n$ $B$ $B(k)$ $A(1)$ $A(k-1)$ $A(k)$

i) Dado você pode encontrar em tempo? ii) Dado você pode encontrar em tempo? $A$ $B$ $O(n)$
$B$ $A$ $O(n)$

Aqui, . Para um exemplo concreto: $B(1) = 0$

| \begin{matrix} A & 8 & 4 & 3 & 1 & 7 & 2 & 9 & 6 & 5 \\ B & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 6 & 4 & 4 \end{matrix} |

$\begin{vmatrix} A & 8 & 4 & 3 & 1 & 7 & 2 & 9 & 6 & 5 \\ B & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 6 & 4 & 4 \\ \end{vmatrix}$

Alguém pode me ajudar? Obrigado.

algorithms arrays permutations

— maldito
fonte

Eu descobri o seguinte: Computando codificações de permutação que fornecem algoritmos para esses problemas. Pelo menos eu acho que eles são os mesmos problemas.

O (n \log n)

$\mathcal O(n \log n)$

— Realz Slaw

@ Merbs, essa dica que você deu significa que você tem uma solução?

— AJed

@AJed, significa que tenho um algoritmo, embora seja necessário para o algoritmo simples sem espaço e se tivermos espaço permitido. No momento, estou inclinado a não ser possível em e os dois serem o mesmo algoritmo.

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

O (n)

$O(n)$

— Merbs

@Merbs. Eu sinto que sua dica pode levar ao caminho certo. Estou tendo uma solução também (seguindo sua dica). Acho que há um truque na análise que o leva a . Acho que o truque é o conhecimento de que passa apenas de 1: .

O (n)

$O(n)$

A

$A$

n

$n$

— AJed

Este artigo também fornece um algoritmo . Você tem certeza de que existe um algoritmo para isso?

O (n \log n)

$\mathcal O(n \log n)$

O (n)

$\mathcal O(n)$

— Realz Slaw

Respostas:

$B$ $A$

$k=1,\dots,n$ $B(k)$ $A(i)$ $A(k)$ $i=1,\dots,k$ $A(i)<A(k)$

$A(1)$ $n-1$ $A(2)$ $n-2$ $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ $B(n)$ $B(n)=A(n)-1$ $n$ $n-1$ $B(n-1)$ $A(1)$ $A(n-2)$ $A(n)$

$k=1, \dots,\frac{n}{2}$ $k=\frac{n}{2},\dots,n$ $B(k)$ $A(n)-1$ $1$ $A(i)$ $i=k+1,\dots,n$ $A(k)$

Isso levaria etapas, que ainda é . Observe também que, ao construir partir de , se então . $2\times\frac{(\frac{n}{2}-1) (\frac{n}{2}-2)}{2}=\frac{(n-2)(n-4)}{4}$ $O(n^2)$ $A$ $B$ $B(n)=A(n)-1$ $A(n)=B(n)+1$

Mas agora para mais requinte. Se for permitido um espaço adicional ou uma classificação no local, podemos classificar os números à medida que os comparamos. Por exemplo:

| \begin{matrix} A & 8 & 4 & 3 & 1 & 7 & 2 & 9 & 6 & 5 \\ S & 9 & 8 & 7 & 4 & 3 & 2 & 1 & 6 & 5 \\ B & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 6 \end{matrix} |

$\begin{vmatrix} A & 8 & 4 & 3 & 1 & 7 & 2 & 9 & 6 & 5 \\ S & 9 & 8 & 7 & 4 & 3 & 2 & 1 & 6 & 5 \\ B & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 6 & & \\ \end{vmatrix}$

Em vez de verificar todas elas (ou verificá-las em ordem), poderíamos usar a pesquisa binária para determinar cada . No entanto, a classificação ainda leva tempo . $B(k)$ $O(n\log n)$

— Merbs
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Esta foi apenas a minha primeira ideia; embora perceba que o problema é mais interessante do que eu originalmente acreditava. E ainda não tive a oportunidade de ler as descobertas de Realz Slaw, portanto o algoritmo pode estar desativado.

— Merbs

$B(k)$ $A$ $n$

| \begin{matrix} A & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & B \\ 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 0 \\ 7 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 & 1 \\ 9 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 & 6 \\ 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 4 \\ 5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 4 \end{matrix} |

$\begin{vmatrix} A & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & & B \\ 8 & & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{0} & 1 & & 0\\ 4 & & 0 & 0 & 0 & \color{red}{0} & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & & 0\\ 3 & & 0 & 0 & \color{red}{0} & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 3 & & 0\\ 1 & & \color{red}{0} & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & & 0\\ 7 & & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & \color{red}{3} & 4 & 5 & & 3\\ 2 & & 0 & \color{red}{1} & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 & & 1\\ 9 & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & \color{red}{6} & & 6\\ 6 & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \color{red}{4} & 5 & 6 & 7 & & 4\\ 5 & & 0 & 1 & 2 & 3 & \color{red}{4} & 5 & 6 & 7 & 8 & & 4\\ \end{vmatrix}$

$8$ $\frac{(n)(n+2)}{2}$

— Merbs
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I e II são solucionáveis usando #next_gength_element que expliquei aqui . mas é um pouco mais difícil do que apenas o problema, mas antes da solução, você precisa aprender o próximo elemento:

$A$ $S_i$ $i$ $i$ $A$ $S_i$ $i$ $B[i]=\sum_{j=0}^x (S_i[j]+1)$ $x$ $S_i$ $\Theta(n)$ $\Theta(n)$ $\Theta(n)$

$O(1)$ $o(n)$

— Ali.Mollahoseini
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