Obtendo ciclo negativo usando Bellman Ford

Eu tenho que encontrar um ciclo negativo em um gráfico ponderado direcionado. Sei como o algoritmo Bellman Ford funciona e que ele me diz se existe um ciclo negativo acessível. Mas não o nomeia explicitamente.

Como posso obter o caminho real do ciclo?$v1, v2, \ldots vk, v1$

Após a aplicação do algoritmo padrão, já fizemos iterações e nenhuma melhoria adicional deve ser possível. Se ainda podemos diminuir a distância até um nó, existe um ciclo negativo.$n-1$

Minha idéia é: como conhecemos a borda que ainda pode melhorar o caminho e o antecessor de cada nó, podemos traçar o caminho de volta a partir dessa borda até encontrá-lo novamente. Agora devemos ter o nosso ciclo.

Infelizmente, não encontrei nenhum documento que me diga se isso está correto. Então, ele realmente funciona assim?

Edit: Este exemplo prova que minha ideia está errada. Dado o gráfico a seguir, executamos Bellman-Ford a partir do nó .$1$

Processamos arestas na ordem . Após n - 1 iterações, obtemos as distâncias dos nós: 1 : - 5 2 : - 30 3 : - $a, b, c, d$$n-1$
$1: -5$
$2: -30$
$3: -15$

e tabela pai:
tem pai 3 2 tem pai 3 3 tem pai $1$$3$
$2$$3$
$3$$2$

Agora, fazendo o º iteração vemos que a distância do nó 1 ainda pode ser melhorada usando borda um . Portanto, sabemos que existe um ciclo negativo e a faz parte dele.$n$$1$$a$$a$

Mas, traçando o caminho de volta através da tabela pai, ficamos presos em outro ciclo negativo e nunca se encontram um novo.$c, d$$a$

Como podemos resolver este problema?

Você está certo na maior parte. Apenas mais uma adição. Quando você retorna à cadeia predecessora ao tentar encontrar o ciclo, para quando atinge o vértice inicial ou qualquer outro vértice que já tenha sido visto na cadeia predecessora que você viu até agora. Basicamente, você para e gera vértices sempre que detecta um ciclo ao retroceder usando os predecessores.$v_1$

$s$

Seu exemplo não contradiz sua ideia. De fato, você encontrou um ciclo negativo. Acho que a idéia que seu exemplo ilustra é que o vértice de origem pode não ser um nó no ciclo negativo.