Duas funções , tais que mas

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O título da pergunta expressa o que estou procurando - isso é para me ajudar a entender melhor os pré-requisitos para o Teorema da Hierarquia de Tempo Não Determinístico

Por exemplo, o livro Arora-Barak explica o teorema usando e - mas, eu posso ver que também! Portanto, estou tentando entender melhor o tempo "extra" garantido especificando que, para que seja um subconjunto adequado de , , não ... $g(n) = n$ $G(n) = n^{1.5}$ $n \in o(n^{1.5})$ $\text{NTIME}(g(n))$ $\text{NTIME}(G(n))$ $g(n + 1) = o(G(n))$ $g(n) = o(G(n))$

— TCSGrad
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Um exemplo é , . $g(n) = 2^{2^{n-1}}$ $G(n) =2^{2^{n}}$

Temos , então . $g(n) = \sqrt{G(n)}$ $g(n) = o(G(n))$

Enquanto isso, é claro, então , então $g(n+1) = G(n)$ $g(n+1) = \Theta(G(n))$ $g(n+1)\neq o(G(n))$

Por que duplicar exponencial? Quando adicionamos um a , queremos que o efeito seja mais do que uma constante multiplicativa (porque a notação grande esconde constantes multiplicativas e, portanto, aditivas). Vamos simplificar e dizer que queremos adicionar 1 em para ter um efeito polinomial no valor de . Quando você adiciona uma constante a : $n$ $O$ $n$ $g(n)$ $n$

uma função linear é aumentada por uma constante aditiva
uma função exponencial é aumentada por uma constante multiplicativa
uma função exponencial dupla é aumentada polinomialmente (por uma potência de duas em nosso exemplo, portanto, ) $g(n)^2 = G(n)$

Também podemos ter ,, etc., onde . Em geral, podemos deixar , em que e é não decrescente. Então nós temos: $g(n) = n^n$ $g(n) = n!$ $G(n) = g(n-1)$ $g(n) = f(n)^n$ $f(n) = \omega(1)$ $f$

lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{G (n)} = lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{g (n + 1)} = lim_{n \to \infty} \frac{f (n)^{n}}{f (n + 1)^{n + 1}} \leq lim_{n \to \infty} \frac{f (n)^{n}}{f (n)^{n + 1}} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{f (n)} = 0

$\lim_{n\to\infty} \frac{g(n)}{G(n)} = \lim_{n\to\infty} \frac{g(n)}{g(n+1)} = \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)^n}{f(n+1)^{n+1}} \leq \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)^n}{f(n)^{n+1}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{f(n)} = 0$

Então, mostramos usando a definição de limite (a última etapa é porque ). Portanto, funções como e até onde é a função inversa de Ackermann, também farão o truque para nós. $g(n) = o(G(n))$ $f(n) = \omega(1)$ $(\log\log n)^n$ $\alpha(n)^n$ $\alpha$

— SamM
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Alguém sabe de um menor ou mais simples , , que não use este esquema, mas atender às solicitações do OP?

g

$g$

G

$G$

— SamM 26/11/12

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g (n) = 1

$g(n)=1$ para ímpar e para par . .

n

$n$

g (n) = n

$g(n)=n$

n

$n$

G (n) = n g (n)

$G(n)=ng(n)$

— John L.

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Toma $g(n)= n!$ e $G(n) = (n+1)!$ .

— Aryabhata
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